Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + y^{2} = 8$ , $x y = 4$

Etapa 1

Divida cada termo em $x y = 4$ por $y$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x y = 4$ por $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{y} = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Etapa 1.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Etapa 2

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $\frac{4}{y}$ em cada equação.

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Etapa 2.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $x^{2} + y^{2} = 8$ por $\frac{4}{y}$ .

${(\frac{4}{y})}^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{y}$ .

$\frac{4^{2}}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 2.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3

Resolva $y$ em $\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y^{2}, 1, 1$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$ por $y^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$ por $y^{2}$ .

$\frac{16}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$16 + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $y^{2}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.2.1.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 + y^{2 + 2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Some $2$ e $2$ .

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $8 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$16 + y^{4} - 8 y^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.3.2

Substitua $u = y^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} - 8 u + 16 = 0$

$u = y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.3.3

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.3.3.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$u^{2} - 8 u + 4^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.3.3.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.3.3.3

Reescreva o polinômio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.3.3.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 4$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

${(u - 4)}^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.3.4

Defina $u - 4$ como igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.3.5

Some $4$ aos dois lados da equação.

$u = 4$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.3.6

Substitua o valor real de $u = y^{2}$ de volta na equação resolvida.

$y^{2} = 4$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.3.7

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 3.3.7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4}$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.3.7.2

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 3.3.7.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2}}$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.3.7.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = \pm 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = \pm 2$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.3.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.3.7.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = 2$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.3.7.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - 2$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 3.3.7.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $2$ em cada equação.

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Etapa 4.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = \frac{4}{y}$ por $2$ .

$x = \frac{4}{2}$

$y = 2$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.1

Divida $4$ por $2$ .

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $- 2$ em cada equação.

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Etapa 5.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = \frac{4}{y}$ por $- 2$ .

$x = \frac{4}{- 2}$

$y = - 2$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Divida $4$ por $- 2$ .

$x = - 2$

$y = - 2$

$x = - 2$

$y = - 2$

$x = - 2$

$y = - 2$

Etapa 6

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(2, 2)$

$(- 2, - 2)$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma do ponto:

$(2, 2), (- 2, - 2)$

Forma da equação:

$x = 2, y = 2$

$x = - 2, y = - 2$

Etapa 8