Pré-cálculo Exemplos

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = 4 (y - 1)$

Etapa 1

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a equação como $4 (y - 1) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$ .

$4 (y - 1) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $4 (y - 1) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida cada termo em $4 (y - 1) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$ por $4$ .

$\frac{4 (y - 1)}{4} = \frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (y - 1)}{4} = \frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

Etapa 1.2.2.1.2

Divida $y - 1$ por $1$ .

$y - 1 = \frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y - 1 = \frac{{(x \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

Etapa 1.2.3.1.2

Combine $x$ e $\frac{2}{2}$ .

$y - 1 = \frac{{(\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}{4}$

Etapa 1.2.3.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y - 1 = \frac{{(\frac{x \cdot 2 + 1}{2})}^{2}}{4}$

Etapa 1.2.3.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y - 1 = \frac{{(\frac{2 x + 1}{2})}^{2}}{4}$

Etapa 1.2.3.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{2 x + 1}{2}$ .

$y - 1 = \frac{\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{2^{2}}}{4}$

Etapa 1.2.3.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y - 1 = \frac{\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4}}{4}$

Etapa 1.2.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y - 1 = \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 1.2.3.3

Combine.

$y - 1 = \frac{{(2 x + 1)}^{2} \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.2.3.4

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.1

Multiplique ${(2 x + 1)}^{2}$ por $1$ .

$y - 1 = \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.2.3.4.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$y - 1 = \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{16}$

Etapa 1.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{16} + 1$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{16} \cdot {(2 x + 1)}^{2} + 1$

Etapa 2.1.2

Complete o quadrado de $\frac{1}{16} \cdot {(2 x + 1)}^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.1

Reescreva ${(2 x + 1)}^{2}$ como $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{16} \cdot ((2 x + 1) (2 x + 1)) + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.2

Expanda $(2 x + 1) (2 x + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{16} \cdot (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{16} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{16} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{16} \cdot (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{1}{16} \cdot (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1}{16} \cdot (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.3.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.3.1.5

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1) + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.3.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1) + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.3.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{1}{16} \cdot (4 x^{2} + 4 x + 1) + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{16} (4 x^{2}) + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.5.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.5.1.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{1}{4 (4)} (4 x^{2}) + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.5.1.2

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{4 (4)} (4 (x^{2})) + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.5.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 4} (4 x^{2}) + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.5.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.5.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{16} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.5.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.5.3.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4 (4)} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.5.3.2

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4 (4)} (4 (x)) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.5.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} (4 x) + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.5.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} x + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.5.4

Combine $\frac{1}{4}$ e $x$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} \cdot 1 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.5.5

Multiplique $\frac{1}{16}$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} + 1$

Etapa 2.1.2.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{16} + \frac{16}{16}$

Etapa 2.1.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1 + 16}{16}$

Etapa 2.1.2.1.4

Some $1$ e $16$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{17}{16}$

Etapa 2.1.2.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{4}$

$c = \frac{17}{16}$

Etapa 2.1.2.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.2.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.2.4.2

Cancele o fator comum de $\frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.2.4.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{2}$

Etapa 2.1.2.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{17}{16} - \frac{{(\frac{1}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.2.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(\frac{1}{4})}^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.2.1.1.1

Fatore $\frac{1}{4}$ de ${(\frac{1}{4})}^{2}$ .

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.2.5.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.2.1.1.2.1

Fatore $\frac{1}{4}$ de $4 (\frac{1}{4})$ .

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Etapa 2.1.2.5.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Etapa 2.1.2.5.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{17}{16} - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Etapa 2.1.2.5.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = \frac{17}{16} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 2.1.2.5.2.1.3

Multiplique $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.2.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{17}{16} - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Etapa 2.1.2.5.2.1.3.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e = \frac{17}{16} - \frac{1}{16}$

Etapa 2.1.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{17 - 1}{16}$

Etapa 2.1.2.5.2.3

Subtraia $1$ de $17$ .

$e = \frac{16}{16}$

Etapa 2.1.2.5.2.4

Divida $16$ por $16$ .

$e = 1$

Etapa 2.1.2.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{4} {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1$ .

$\frac{1}{4} {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Etapa 2.1.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = 1$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{2}, 1)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Etapa 2.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Etapa 2.5.3.2

Simplifique dividindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.2.1

Divida $4$ por $4$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 2.5.3.2.2

Divida $1$ por $1$ .

$1$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \frac{1}{2}, 2)$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = 0$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- \frac{1}{2}, 1)$

Foco: $(- \frac{1}{2}, 2)$

Eixo de simetria: $x = - \frac{1}{2}$

Diretriz: $y = 0$

Direção: abre para cima

Vértice: $(- \frac{1}{2}, 1)$

Foco: $(- \frac{1}{2}, 2)$

Eixo de simetria: $x = - \frac{1}{2}$

Diretriz: $y = 0$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 17}{16}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 1) + 17}{16}$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f (- 1) = \frac{4 + 4 (- 1) + 17}{16}$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{4 - 4 + 17}{16}$

Etapa 3.2.1.4

Subtraia $4$ de $4$ .

$f (- 1) = \frac{0 + 17}{16}$

Etapa 3.2.1.5

Some $0$ e $17$ .

$f (- 1) = \frac{17}{16}$

Etapa 3.2.2

A resposta final é $\frac{17}{16}$ .

$\frac{17}{16}$

Etapa 3.3

O valor $y$ em $x = - 1$ é $\frac{17}{16}$ .

$y = \frac{17}{16}$

Etapa 3.4

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 17}{16}$

Etapa 3.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = \frac{4 \cdot 4 + 4 (- 2) + 17}{16}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (- 2) = \frac{16 + 4 (- 2) + 17}{16}$

Etapa 3.5.1.3

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{16 - 8 + 17}{16}$

Etapa 3.5.1.4

Subtraia $8$ de $16$ .

$f (- 2) = \frac{8 + 17}{16}$

Etapa 3.5.1.5

Some $8$ e $17$ .

$f (- 2) = \frac{25}{16}$

Etapa 3.5.2

A resposta final é $\frac{25}{16}$ .

$\frac{25}{16}$

Etapa 3.6

O valor $y$ em $x = - 2$ é $\frac{25}{16}$ .

$y = \frac{25}{16}$

Etapa 3.7

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{4 {(1)}^{2} + 4 (1) + 17}{16}$

Etapa 3.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (1) + 17}{16}$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f (1) = \frac{4 + 4 (1) + 17}{16}$

Etapa 3.8.1.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$f (1) = \frac{4 + 4 + 17}{16}$

Etapa 3.8.1.4

Some $4$ e $4$ .

$f (1) = \frac{8 + 17}{16}$

Etapa 3.8.1.5

Some $8$ e $17$ .

$f (1) = \frac{25}{16}$

Etapa 3.8.2

A resposta final é $\frac{25}{16}$ .

$\frac{25}{16}$

Etapa 3.9

O valor $y$ em $x = 1$ é $\frac{25}{16}$ .

$y = \frac{25}{16}$

Etapa 3.10

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{4 {(2)}^{2} + 4 (2) + 17}{16}$

Etapa 3.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = \frac{4 \cdot 4 + 4 (2) + 17}{16}$

Etapa 3.11.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (2) = \frac{16 + 4 (2) + 17}{16}$

Etapa 3.11.1.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (2) = \frac{16 + 8 + 17}{16}$

Etapa 3.11.1.4

Some $16$ e $8$ .

$f (2) = \frac{24 + 17}{16}$

Etapa 3.11.1.5

Some $24$ e $17$ .

$f (2) = \frac{41}{16}$

Etapa 3.11.2

A resposta final é $\frac{41}{16}$ .

$\frac{41}{16}$

Etapa 3.12

O valor $y$ em $x = 2$ é $\frac{41}{16}$ .

$y = \frac{41}{16}$

Etapa 3.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{25}{16} \\ - 1 & \frac{17}{16} \\ - \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & \frac{25}{16} \\ 2 & \frac{41}{16} \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- \frac{1}{2}, 1)$

Foco: $(- \frac{1}{2}, 2)$

Eixo de simetria: $x = - \frac{1}{2}$

Diretriz: $y = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{25}{16} \\ - 1 & \frac{17}{16} \\ - \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & \frac{25}{16} \\ 2 & \frac{41}{16} \end{array}$

Etapa 5