Pré-cálculo Exemplos

${(y - 1)}^{2} = 8 (x + 3)$

Etapa 1

Reescreva a equação como $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ .

$8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$

Etapa 2

Divida cada termo em $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ por $8$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ por $8$ .

$\frac{8 (x + 3)}{8} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 (x + 3)}{8} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $x + 3$ por $1$ .

$x + 3 = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Etapa 3

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8} - 3$

Etapa 4

Encontre as propriedades da parábola em questão.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y - 1)}^{2} - 3$

Etapa 4.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{8}$

$h = - 3$

$k = 1$

Etapa 4.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 4.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 3, 1)$

Etapa 4.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 4.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 4.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Etapa 4.5.3

Simplifique.

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Etapa 4.5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Etapa 4.5.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Etapa 4.5.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.2.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 4.5.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 4.5.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.5.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \cdot 2$

Etapa 4.5.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4.6

Encontre o foco.

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Etapa 4.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 4.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 1, 1)$

Etapa 4.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 1$

Etapa 4.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 4.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 4.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - 5$

Etapa 4.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 3, 1)$

Foco: $(- 1, 1)$

Eixo de simetria: $y = 1$

Diretriz: $x = - 5$

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 3, 1)$

Foco: $(- 1, 1)$

Eixo de simetria: $y = 1$

Diretriz: $x = - 5$

Etapa 5

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 5.1

Substitua o valor $x$ $- 2$ em $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . Nesse caso, o ponto é $(- 2, 3.82842712)$ .

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Etapa 5.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = 2 \sqrt{2 ((- 2) + 3)} + 1$

Etapa 5.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.2.1.1

Some $- 2$ e $3$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Etapa 5.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{2} + 1$

Etapa 5.1.2.2

A resposta final é $2 \sqrt{2} + 1$ .

$y = 2 \sqrt{2} + 1$

Etapa 5.1.3

Converta $2 \sqrt{2} + 1$ em decimal.

$= 3.82842712$

Etapa 5.2

Substitua o valor $x$ $- 2$ em $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . Nesse caso, o ponto é $(- 2, - 1.82842712)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 ((- 2) + 3)} + 1$

Etapa 5.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Some $- 2$ e $3$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2} + 1$

Etapa 5.2.2.2

A resposta final é $- 2 \sqrt{2} + 1$ .

$y = - 2 \sqrt{2} + 1$

Etapa 5.2.3

Converta $- 2 \sqrt{2} + 1$ em decimal.

$= - 1.82842712$

Etapa 5.3

Substitua o valor $x$ $- 1$ em $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . Nesse caso, o ponto é $(- 1, 5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = 2 \sqrt{2 ((- 1) + 3)} + 1$

Etapa 5.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Some $- 1$ e $3$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Etapa 5.3.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{4} + 1$

Etapa 5.3.2.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{2^{2}} + 1$

Etapa 5.3.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- 1) = 2 \cdot 2 + 1$

Etapa 5.3.2.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- 1) = 4 + 1$

Etapa 5.3.2.2

Some $4$ e $1$ .

$f (- 1) = 5$

Etapa 5.3.2.3

A resposta final é $5$ .

$y = 5$

Etapa 5.3.3

Converta $5$ em decimal.

$= 5$

Etapa 5.4

Substitua o valor $x$ $- 1$ em $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . Nesse caso, o ponto é $(- 1, - 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2 ((- 1) + 3)} + 1$

Etapa 5.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Some $- 1$ e $3$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Etapa 5.4.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{4} + 1$

Etapa 5.4.2.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2^{2}} + 1$

Etapa 5.4.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- 1) = - 2 \cdot 2 + 1$

Etapa 5.4.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f (- 1) = - 4 + 1$

Etapa 5.4.2.2

Some $- 4$ e $1$ .

$f (- 1) = - 3$

Etapa 5.4.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$y = - 3$

Etapa 5.4.3

Converta $- 3$ em decimal.

$= - 3$

Etapa 5.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 3.83 \\ - 2 & - 1.83 \\ - 1 & 5 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

Etapa 6

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 3, 1)$

Foco: $(- 1, 1)$

Eixo de simetria: $y = 1$

Diretriz: $x = - 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 3.83 \\ - 2 & - 1.83 \\ - 1 & 5 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

Etapa 7