Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{56} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{56} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 9$

$b = 2 \sqrt{14}$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(9)}^{2} - {(2 \sqrt{14})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\sqrt{81 - {(2 \sqrt{14})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{14}$ .

$\sqrt{81 - (2^{2} {\sqrt{14}}^{2})}$

Etapa 5.3.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{81 - (4 {\sqrt{14}}^{2})}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{14}}^{2}$ como $14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{14}$ como $14^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{81 - (4 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{81 - (4 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{81 - (4 \cdot 14^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{81 - (4 \cdot 14^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{81 - (4 \cdot 14^{1})}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{81 - (4 \cdot 14)}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- (4 \cdot 14)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $4$ por $14$ .

$\sqrt{81 - 1 \cdot 56}$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $56$ .

$\sqrt{81 - 56}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $56$ de $81$ .

$\sqrt{25}$

Etapa 5.3.5

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Etapa 5.3.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$5$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 + 9, 0)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(9, 0)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (9), 0)$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(- 9, 0)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(9, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 9, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(9, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 9, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 + 5, 0)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(5, 0)$

Etapa 7.4

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (5), 0)$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(- 5, 0)$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(5, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(5, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 5, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(9)}^{2} - {(2 \sqrt{14})}^{2}}}{9}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{81 - {(2 \sqrt{14})}^{2}}}{9}$

Etapa 8.3.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{14}$ .

$\frac{\sqrt{81 - (2^{2} {\sqrt{14}}^{2})}}{9}$

Etapa 8.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{81 - (4 {\sqrt{14}}^{2})}}{9}$

Etapa 8.3.4

Reescreva ${\sqrt{14}}^{2}$ como $14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{14}$ como $14^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{81 - (4 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{9}$

Etapa 8.3.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{81 - (4 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{9}$

Etapa 8.3.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{81 - (4 \cdot 14^{\frac{2}{2}})}}{9}$

Etapa 8.3.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{81 - (4 \cdot 14^{\frac{2}{2}})}}{9}$

Etapa 8.3.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{81 - (4 \cdot 14^{1})}}{9}$

Etapa 8.3.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{81 - (4 \cdot 14)}}{9}$

Etapa 8.3.5

Multiplique $- (4 \cdot 14)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.5.1

Multiplique $4$ por $14$ .

$\frac{\sqrt{81 - 1 \cdot 56}}{9}$

Etapa 8.3.5.2

Multiplique $- 1$ por $56$ .

$\frac{\sqrt{81 - 56}}{9}$

Etapa 8.3.6

Subtraia $56$ de $81$ .

$\frac{\sqrt{25}}{9}$

Etapa 8.3.7

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{9}$

Etapa 8.3.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{5}{9}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(9, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 9, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(5, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 5, 0)$

Excentricidade: $\frac{5}{9}$

Etapa 10