Pré-cálculo Exemplos

$9 x^{2} - 16 y^{2} - 36 x - 64 y - 172 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $172$ aos dois lados da equação.

$9 x^{2} - 16 y^{2} - 36 x - 64 y = 172$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $9 x^{2} - 36 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 36$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 18}{9}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 18$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $9$ de $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Fatore $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 36$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $1296$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$e = 0 - 36$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Etapa 1.3

Substitua $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ por $9 x^{2} - 36 x$ na equação $9 x^{2} - 16 y^{2} - 36 x - 64 y = 172$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - 16 y^{2} - 64 y = 172$

Etapa 1.4

Mova $- 36$ para o lado direito da equação, somando $36$ aos dois lados.

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 y^{2} - 64 y = 172 + 36$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $- 16 y^{2} - 64 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 16$

$b = - 64$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 64}{2 \cdot - 16}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 64$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot - 16}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (- 16)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot - 16}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 32}{- 16}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 32$ e $- 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $- 16$ de $- 32$ .

$d = \frac{- 16 (2)}{- 16}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.2.1

Fatore $- 16$ de $- 16$ .

$d = \frac{- 16 \cdot 2}{- 16 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 16 \cdot 2}{- 16 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{2}{1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$d = 2$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot - 16}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $- 64$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot - 16}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{- 64}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $4096$ por $- 64$ .

$e = 0 - - 64$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Etapa 1.5.4.2.2

Some $0$ e $64$ .

$e = 64$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 16 {(y + 2)}^{2} + 64$ .

$- 16 {(y + 2)}^{2} + 64$

Etapa 1.6

Substitua $- 16 {(y + 2)}^{2} + 64$ por $- 16 y^{2} - 64 y$ na equação $9 x^{2} - 16 y^{2} - 36 x - 64 y = 172$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 {(y + 2)}^{2} + 64 = 172 + 36$

Etapa 1.7

Mova $64$ para o lado direito da equação, somando $64$ aos dois lados.

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 {(y + 2)}^{2} = 172 + 36 - 64$

Etapa 1.8

Simplifique $172 + 36 - 64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $172$ e $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 {(y + 2)}^{2} = 208 - 64$

Etapa 1.8.2

Subtraia $64$ de $208$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 {(y + 2)}^{2} = 144$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $144$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{144} - \frac{16 {(y + 2)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{9} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = - 2$

$h = 2$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(2, - 2)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 9}$

Etapa 5.3.3

Some $16$ e $9$ .

$\sqrt{25}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Etapa 5.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$5$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(6, - 2)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 2, - 2)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(6, - 2), (- 2, - 2)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(7, - 2)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 3, - 2)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(7, - 2), (- 3, - 2)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

Etapa 8.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Etapa 8.3.3

Some $16$ e $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Etapa 8.3.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Etapa 8.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{5}{4}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{3^{2}}{5}$

Etapa 9.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{9}{5}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) - 2$

Etapa 11

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) - 2$

Etapa 11.2

Simplifique $\frac{3}{4} \cdot (x - (2)) - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 2) - 2$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2 - 2$

Etapa 11.2.1.3

Combine $\frac{3}{4}$ e $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 2 - 2$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 (2)} \cdot - 2 - 2$

Etapa 11.2.1.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) - 2$

Etapa 11.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) - 2$

Etapa 11.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 2$

Etapa 11.2.1.5

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{2} - 2$

Etapa 11.2.1.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3}{2} - 2$

Etapa 11.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2} - 2$

Etapa 11.2.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 11.2.3

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3 - 2 \cdot 2}{2}$

Etapa 11.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3 - 4}{2}$

Etapa 11.2.5.2

Subtraia $4$ de $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 7}{2}$

Etapa 11.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{7}{2}$

Etapa 12

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Remova os parênteses.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) - 2$

Etapa 12.2

Simplifique $- \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 2) - 2$

Etapa 12.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 2 - 2$

Etapa 12.2.1.3

Combine $x$ e $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 2 - 2$

Etapa 12.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{4}$ para o numerador.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot - 2 - 2$

Etapa 12.2.1.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 (2)} \cdot - 2 - 2$

Etapa 12.2.1.4.3

Fatore $2$ de $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) - 2$

Etapa 12.2.1.4.4

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) - 2$

Etapa 12.2.1.4.5

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2} \cdot - 1 - 2$

Etapa 12.2.1.5

Combine $\frac{- 3}{2}$ e $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2} - 2$

Etapa 12.2.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3}{2} - 2$

Etapa 12.2.1.7

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2} - 2$

Etapa 12.2.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 12.2.3

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Etapa 12.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3 - 2 \cdot 2}{2}$

Etapa 12.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3 - 4}{2}$

Etapa 12.2.5.2

Subtraia $4$ de $3$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 12.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2}$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{7}{2}, y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2}$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(2, - 2)$

Vértices: $(6, - 2), (- 2, - 2)$

Ponto imaginário: $(7, - 2), (- 3, - 2)$

Excentricidade: $\frac{5}{4}$

Parâmetro focal: $\frac{9}{5}$

Assíntotas: $y = \frac{3 x}{4} - \frac{7}{2}$ , $y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2}$

Etapa 15