Pré-cálculo Exemplos

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y + 51 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $51$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $4 x^{2} + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{4}{4}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{4}{4}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $64$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Etapa 1.3

Substitua $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ por $4 x^{2} + 8 x$ na equação $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + 3 y^{2} - 24 y = - 51$

Etapa 1.4

Mova $- 4$ para o lado direito da equação, somando $4$ aos dois lados.

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 y^{2} - 24 y = - 51 + 4$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $3 y^{2} - 24 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 3$

$b = - 24$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 24$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (3)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 12}{3}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 12$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $3$ de $- 12$ .

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 4}{1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.4

Divida $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $- 24$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 3}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$e = 0 - \frac{576}{12}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $576$ por $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 48$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $48$ .

$e = 0 - 48$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $48$ de $0$ .

$e = - 48$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ .

$3 {(y - 4)}^{2} - 48$

Etapa 1.6

Substitua $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ por $3 y^{2} - 24 y$ na equação $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} - 48 = - 51 + 4$

Etapa 1.7

Mova $- 48$ para o lado direito da equação, somando $48$ aos dois lados.

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = - 51 + 4 + 48$

Etapa 1.8

Simplifique $- 51 + 4 + 48$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $- 51$ e $4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = - 47 + 48$

Etapa 1.8.2

Some $- 47$ e $48$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = 1$

Etapa 1.9

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{\frac{1}{3}} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 4$

$h = - 1$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(- 1, 4)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{3^{1}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{3}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{1}{3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 5.3.5.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{2^{2}}}$

Etapa 5.3.5.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.3.6

Para escrever $\frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Etapa 5.3.7

Para escrever $- \frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 5.3.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 5.3.8.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 5.3.8.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3}}$

Etapa 5.3.8.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{12}}$

Etapa 5.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{4 - 3}{12}}$

Etapa 5.3.10

Subtraia $3$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{1}{12}}$

Etapa 5.3.11

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{12}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$

Etapa 5.3.12

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{12}}$

Etapa 5.3.13

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.13.1

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.13.1.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 (3)}}$

Etapa 5.3.13.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}$

Etapa 5.3.13.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}}$

Etapa 5.3.14

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.3.15

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.15.1

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 5.3.15.2

Mova $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Etapa 5.3.15.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Etapa 5.3.15.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Etapa 5.3.15.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.3.15.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 5.3.15.7

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.15.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.15.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.15.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.15.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.15.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.15.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

Etapa 5.3.15.7.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.3.16

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(- 1, 4 - (\frac{\sqrt{3}}{3}))$

Etapa 6.5

Simplifique.

$(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 6.6

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

Etapa 7.3

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- 1, 4 - (\frac{\sqrt{3}}{6}))$

Etapa 7.5

Simplifique.

$(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

Etapa 7.6

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{3^{1}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.3.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{3}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.5

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.5.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.5.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{1}{3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.6.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1^{2}}{2^{2}}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.6.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{2^{2}}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.6.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.7

Para escrever $\frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.8

Para escrever $- \frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.3.9.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.9.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.9.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.9.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{4 - 3}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.11

Subtraia $3$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{1}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.12

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{12}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.13

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{12}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.14

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.3.14.1

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 8.3.14.1.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 (3)}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.14.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.14.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.15

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.16

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 8.3.16.1

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.16.2

Mova $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.16.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.16.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.16.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.16.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.16.7

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 8.3.16.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.16.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.16.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.16.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.16.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.16.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.16.7.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.17

Cancele o fator comum de $\sqrt{3}$ .

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Etapa 8.3.17.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.17.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 3$

Etapa 8.3.18

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3$

Etapa 8.3.19

Combine $\frac{1}{6}$ e $3$ .

$\frac{3}{6}$

Etapa 8.3.20

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

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Etapa 8.3.20.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{6}$

Etapa 8.3.20.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.20.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Etapa 8.3.20.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Etapa 8.3.20.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(- 1, 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

Excentricidade: $\frac{1}{2}$

Etapa 10