Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} + 2 y - x = 0$

Etapa 1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 y - x = - y^{2}$

Etapa 1.2

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$- x = - y^{2} - 2 y$

Etapa 2

Divida cada termo em $- x = - y^{2} - 2 y$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida cada termo em $- x = - y^{2} - 2 y$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1}$

Etapa 2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{1} + \frac{- 2 y}{- 1}$

Etapa 2.3.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$x = y^{2} + \frac{- 2 y}{- 1}$

Etapa 2.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 2 y}{- 1}$ .

$x = y^{2} - 1 \cdot (- 2 y)$

Etapa 2.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot (- 2 y)$ como $- (- 2 y)$ .

$x = y^{2} - (- 2 y)$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$x = y^{2} + 2 y$

Etapa 3

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Complete o quadrado de $y^{2} + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Etapa 3.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 3.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 3.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 3.1.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Etapa 3.1.1.4.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Etapa 3.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y + 1)}^{2} - 1$ .

${(y + 1)}^{2} - 1$

Etapa 3.1.2

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = {(y + 1)}^{2} - 1$

Etapa 3.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = - 1$

$k = - 1$

Etapa 3.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 3.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 1, - 1)$

Etapa 3.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 3.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.5.3

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 3.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 3.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \frac{3}{4}, - 1)$

Etapa 3.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = - 1$

Etapa 3.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 3.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - \frac{5}{4}$

Etapa 3.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 1, - 1)$

Foco: $(- \frac{3}{4}, - 1)$

Eixo de simetria: $y = - 1$

Diretriz: $x = - \frac{5}{4}$

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 1, - 1)$

Foco: $(- \frac{3}{4}, - 1)$

Eixo de simetria: $y = - 1$

Diretriz: $x = - \frac{5}{4}$

Etapa 4

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua o valor $x$ $0$ em $f (x) = - 1 + \sqrt{1 + x}$ . Nesse caso, o ponto é $(0, 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - 1 + \sqrt{1 + 0}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (0) = - 1 + \sqrt{1 + 0}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Some $1$ e $0$ .

$f (0) = - 1 + \sqrt{1}$

Etapa 4.1.2.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (0) = - 1 + 1$

Etapa 4.1.2.3

Some $- 1$ e $1$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.1.2.4

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 4.1.3

Converta $0$ em decimal.

$= 0$

Etapa 4.2

Substitua o valor $x$ $0$ em $f (x) = - 1 - \sqrt{1 + x}$ . Nesse caso, o ponto é $(0, - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - 1 - \sqrt{1 + 0}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Remova os parênteses.

$f (0) = - 1 - \sqrt{1 + 0}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Some $1$ e $0$ .

$f (0) = - 1 - \sqrt{1}$

Etapa 4.2.2.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (0) = - 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (0) = - 1 - 1$

Etapa 4.2.2.3

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$f (0) = - 2$

Etapa 4.2.2.4

A resposta final é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 4.2.3

Converta $- 2$ em decimal.

$= - 2$

Etapa 4.3

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = - 1 + \sqrt{1 + x}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, 0.41421356)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - 1 + \sqrt{1 + 1}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Remova os parênteses.

$f (1) = - 1 + \sqrt{1 + 1}$

Etapa 4.3.2.2

Some $1$ e $1$ .

$f (1) = - 1 + \sqrt{2}$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $- 1 + \sqrt{2}$ .

$y = - 1 + \sqrt{2}$

Etapa 4.3.3

Converta $- 1 + \sqrt{2}$ em decimal.

$= 0.41421356$

Etapa 4.4

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = - 1 - \sqrt{1 + x}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, - 2.41421356)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - 1 - \sqrt{1 + 1}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Remova os parênteses.

$f (1) = - 1 - \sqrt{1 + 1}$

Etapa 4.4.2.2

Some $1$ e $1$ .

$f (1) = - 1 - \sqrt{2}$

Etapa 4.4.2.3

A resposta final é $- 1 - \sqrt{2}$ .

$y = - 1 - \sqrt{2}$

Etapa 4.4.3

Converta $- 1 - \sqrt{2}$ em decimal.

$= - 2.41421356$

Etapa 4.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & - 2 \\ 1 & 0.41 \\ 1 & - 2.41 \end{array}$

Etapa 5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 1, - 1)$

Foco: $(- \frac{3}{4}, - 1)$

Eixo de simetria: $y = - 1$

Diretriz: $x = - \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & - 2 \\ 1 & 0.41 \\ 1 & - 2.41 \end{array}$

Etapa 6