Pré-cálculo Exemplos

$36 x^{2} + y^{2} = 36$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

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Etapa 1.1

Divida cada termo por $36$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{36 x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$x^{2} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 6$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\sqrt{36 - {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{36 - 1 \cdot 1}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\sqrt{36 - 1}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $1$ de $36$ .

$\sqrt{35}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

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Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + 6)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(0, 6)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (6))$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(0, - 6)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + \sqrt{35})$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(0, \sqrt{35})$

Etapa 7.4

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (\sqrt{35}))$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(0, - \sqrt{35})$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{35})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{35})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{35})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{35})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(1)}^{2}}}{6}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1^{2}}}{6}$

Etapa 8.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 1}}{6}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1}}{6}$

Etapa 8.3.4

Subtraia $1$ de $36$ .

$\frac{\sqrt{35}}{6}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{35})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{35})$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{35}}{6}$

Etapa 10