Pré-cálculo Exemplos

$3 x^{2} + 6 y^{2} = 18$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo por $18$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{3 x^{2}}{18} + \frac{6 y^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = \sqrt{6}$

$b = \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{6^{1} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{6 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{6 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{6 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{6 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{6 - 3^{1}}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{6 - 1 \cdot 3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\sqrt{6 - 3}$

Etapa 5.3.3.2

Subtraia $3$ de $6$ .

$\sqrt{3}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 + \sqrt{6}, 0)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(\sqrt{6}, 0)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (\sqrt{6}), 0)$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(- \sqrt{6}, 0)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 + \sqrt{3}, 0)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(\sqrt{3}, 0)$

Etapa 7.4

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (\sqrt{3}), 0)$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(- \sqrt{3}, 0)$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{6^{1} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.1.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{6 - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{6 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{6 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{6 - 3^{1}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{6 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{6 - 3}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.1.4

Subtraia $3$ de $6$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$

Etapa 8.3.2

Combine $\sqrt{3}$ e $\sqrt{6}$ em um único radical.

$\sqrt{\frac{3}{6}}$

Etapa 8.3.3

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{6}}$

Etapa 8.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

Etapa 8.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

Etapa 8.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.3.4

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 8.3.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 8.3.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 8.3.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.7.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.7.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 8.3.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.3.7.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 8.3.7.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.3.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.3.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 8.3.7.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 0)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 10