Pré-cálculo Exemplos

$P (x) = 6 x^{4} - 7 x^{3} - 72 x^{2} + 13 x + 12$

Etapa 1

Fatore $6 x^{4} - 7 x^{3} - 72 x^{2} + 13 x + 12$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 4, \pm 0.\overline{6}, \pm 3, \pm 1.5, \pm 1.\overline{3}$

Etapa 1.3

Substitua $- 0.\overline{3}$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 0.\overline{3}$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $- 0.\overline{3}$ no polinômio.

$6 {(- 0.\overline{3})}^{4} - 7 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 72 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

Etapa 1.3.2

Eleve $- 0.\overline{3}$ à potência de $4$ .

$6 \cdot 0.01234567 - 7 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 72 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

Etapa 1.3.3

Multiplique $6$ por $0.01234567$ .

$0.\overline{074} - 7 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 72 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

Etapa 1.3.4

Eleve $- 0.\overline{3}$ à potência de $3$ .

$0.\overline{074} - 7 \cdot - 0.\overline{037} - 72 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 7$ por $- 0.\overline{037}$ .

$0.\overline{074} + 0.\overline{259} - 72 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

Etapa 1.3.6

Some $0.\overline{074}$ e $0.\overline{259}$ .

$0.\overline{3} - 72 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

Etapa 1.3.7

Eleve $- 0.\overline{3}$ à potência de $2$ .

$0.\overline{3} - 72 \cdot 0.\overline{1} + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

Etapa 1.3.8

Multiplique $- 72$ por $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{3} - 8 + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

Etapa 1.3.9

Subtraia $8$ de $0.\overline{3}$ .

$- 7.66666666 + 13 \cdot - 0.\overline{3} + 12$

Etapa 1.3.10

Multiplique $13$ por $- 0.\overline{3}$ .

$- 7.66666666 - 4.33333333 + 12$

Etapa 1.3.11

Subtraia $4.33333333$ de $- 7.66666666$ .

$- 12 + 12$

Etapa 1.3.12

Some $- 12$ e $12$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $- 0.\overline{3}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $3 x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{6 x^{4} - 7 x^{3} - 72 x^{2} + 13 x + 12}{3 x + 1}$

Etapa 1.5

Divida $6 x^{4} - 7 x^{3} - 72 x^{2} + 13 x + 12$ por $3 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x^{4} + 2 x^{3}$ .

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 9 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{4}$	-	$7 x^{3}$	-	$72 x^{2}$	+	$13 x$	+	$12$
			-	$6 x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$9 x^{3}$	-	$72 x^{2}$
					-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 9 x^{3} - 3 x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 69 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

$69 x^{2}$

$23 x$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 69 x^{2} - 23 x$ .

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

$69 x^{2}$

$23 x$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

$69 x^{2}$

$23 x$

$36 x$

Etapa 1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

$69 x^{2}$

$23 x$

$36 x$

$12$

Etapa 1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $36 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$12$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

$69 x^{2}$

$23 x$

$36 x$

$12$

Etapa 1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$12$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

$69 x^{2}$

$23 x$

$36 x$

$12$

$36 x$

$12$

Etapa 1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $36 x + 12$ .

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$12$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

$69 x^{2}$

$23 x$

$36 x$

$12$

$36 x$

$12$

Etapa 1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$12$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x$

$12$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$72 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$69 x^{2}$

$13 x$

$69 x^{2}$

$23 x$

$36 x$

$12$

$36 x$

$12$

$0$

Etapa 1.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$

Etapa 1.6

Escreva $6 x^{4} - 7 x^{3} - 72 x^{2} + 13 x + 12$ como um conjunto de fatores.

$P (x) = (3 x + 1) (2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12)$

Etapa 2

Fatore $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Etapa 2.3

Substitua $0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.5$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua $0.5$ no polinômio.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 2.3.2

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $0.125$ .

$0.25 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 2.3.4

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$0.25 - 3 \cdot 0.25 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 3$ por $0.25$ .

$0.25 - 0.75 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 2.3.6

Subtraia $0.75$ de $0.25$ .

$- 0.5 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Etapa 2.3.7

Multiplique $- 23$ por $0.5$ .

$- 0.5 - 11.5 + 12$

Etapa 2.3.8

Subtraia $11.5$ de $- 0.5$ .

$- 12 + 12$

Etapa 2.3.9

Some $- 12$ e $12$ .

$0$

Etapa 2.4

Como $0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12}{2 x - 1}$

Etapa 2.5

Divida $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ por $2 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$12$

Etapa 2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$

Etapa 2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Etapa 2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$

Etapa 2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$

Etapa 2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} + x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

Etapa 2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$

Etapa 2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$

Etapa 2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 24 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$

Etapa 2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							-	$24 x$	+	$12$

Etapa 2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 24 x + 12$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	-	$12$

Etapa 2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	-	$12$
										$0$

Etapa 2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - x - 12$

Etapa 2.6

Escreva $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ como um conjunto de fatores.

$P (x) = (3 x + 1) ((2 x - 1) (x^{2} - x - 12))$

Etapa 3

Fatore $x^{2} - x - 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $x^{2} - x - 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $x^{2} - x - 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 4, 3$

Etapa 3.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$P (x) = (3 x + 1) ((2 x - 1) ((x - 4) (x + 3)))$

Etapa 3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$P (x) = (3 x + 1) ((2 x - 1) (x - 4) (x + 3))$

Etapa 3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$P (x) = (3 x + 1) (2 x - 1) (x - 4) (x + 3)$