Pré-cálculo Exemplos

$y = x \sqrt{1 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre o domínio para $y = x \sqrt{1 - x^{2}}$ de modo que uma lista de valores $x$ possa ser escolhida para encontrar uma lista de pontos, o que ajudará a representar graficamente o radical.

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Etapa 1.1

Defina o radicando em $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Etapa 1.2.2

Defina $1 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Defina $1 + x$ como igual a $0$ .

$1 + x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.3

Defina $1 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.3.1

Defina $1 - x$ como igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Etapa 1.2.3.2

Resolva $1 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 1.2.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 1.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(1 + x) (1 - x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1$

Etapa 1.2.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 1.2.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.2.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.2.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 1.2.6.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$(1 - 4) (1 - (- 4)) \geq 0$

Etapa 1.2.6.1.3

O lado esquerdo $- 15$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.2.6.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.2.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.2.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(1 + 0) (1 - (0)) \geq 0$

Etapa 1.2.6.2.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.2.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.2.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 1.2.6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$(1 + 4) (1 - (4)) \geq 0$

Etapa 1.2.6.3.3

O lado esquerdo $- 15$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.2.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 1.2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 \leq x \leq 1$

Etapa 1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 1, 1]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

Notação de intervalo:

$[- 1, 1]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

Etapa 2

Para encontrar os pontos finais, substitua os limites dos valores de $x$ do domínio em $f (x) = x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(1 - 1) (1 - (- 1))}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(1 - 1) (1 - (- 1))}$

Etapa 2.2.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 (1 - (- 1))}$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 (1 + 1)}$

Etapa 2.2.4

Some $1$ e $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 \cdot 2}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $0$ por $2$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0}$

Etapa 2.2.6

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.2.7

Multiplique por zero.

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Etapa 2.2.7.1

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- 1) = - 1 \cdot 0$

Etapa 2.2.7.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (- 1) = 0$

Etapa 2.2.8

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 2.3

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 1 \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Etapa 2.4

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.4.1

Remova os parênteses.

$f (1) = 1 \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Etapa 2.4.3

Some $1$ e $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 (1 - (1))}$

Etapa 2.4.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 (1 - 1)}$

Etapa 2.4.5

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 \cdot 0}$

Etapa 2.4.6

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (1) = \sqrt{0}$

Etapa 2.4.7

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (1) = \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (1) = 0$

Etapa 2.4.9

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3

Os pontos finais são $(- 1, 0), (1, 0)$ .

$(- 1, 0), (1, 0)$

Etapa 4

A raiz quadrada pode ser representada graficamente usando os pontos ao redor do vértice $(- 1, 0), (1, 0),$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$

Etapa 5