Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} - 10 y + 12 x + 109 = 0$

Etapa 1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 10 y + 12 x + 109 = - y^{2}$

Etapa 1.2

Some $10 y$ aos dois lados da equação.

$12 x + 109 = - y^{2} + 10 y$

Etapa 1.3

Subtraia $109$ dos dois lados da equação.

$12 x = - y^{2} + 10 y - 109$

Etapa 2

Divida cada termo em $12 x = - y^{2} + 10 y - 109$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida cada termo em $12 x = - y^{2} + 10 y - 109$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- y^{2}}{12} + \frac{10 y}{12} + \frac{- 109}{12}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- y^{2}}{12} + \frac{10 y}{12} + \frac{- 109}{12}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{12} + \frac{10 y}{12} + \frac{- 109}{12}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{10 y}{12} + \frac{- 109}{12}$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum de $10$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $10 y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 (5 y)}{12} + \frac{- 109}{12}$

Etapa 2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 (5 y)}{2 (6)} + \frac{- 109}{12}$

Etapa 2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 (5 y)}{2 \cdot 6} + \frac{- 109}{12}$

Etapa 2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{5 y}{6} + \frac{- 109}{12}$

Etapa 2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{5 y}{6} - \frac{109}{12}$

Etapa 3

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Complete o quadrado de $- \frac{y^{2}}{12} + \frac{5 y}{6} - \frac{109}{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$b = \frac{5}{6}$

$c = - \frac{109}{12}$

Etapa 3.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 3.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{6}}{2 (- \frac{1}{12})}$

Etapa 3.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{12})}$

Etapa 3.1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.2.2.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{12})}$

Etapa 3.1.1.3.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{12})})$

Etapa 3.1.1.3.2.3

Combine $2$ e $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2}{12}})$

Etapa 3.1.1.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.2.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}})$

Etapa 3.1.1.3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.2.4.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}})$

Etapa 3.1.1.3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}})$

Etapa 3.1.1.3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{1}{6}})$

Etapa 3.1.1.3.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{5}{6} (- (1 \cdot 6))$

Etapa 3.1.1.3.2.6

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.2.6.1

Fatore $6$ de $- (1 \cdot 6)$ .

$d = \frac{5}{6} (6 (- 1 \cdot (1)))$

Etapa 3.1.1.3.2.6.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{5}{6} (6 (- 1 \cdot (1)))$

Etapa 3.1.1.3.2.6.3

Reescreva a expressão.

$d = 5 (- 1 \cdot (1))$

Etapa 3.1.1.3.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$d = 5 \cdot - 1$

Etapa 3.1.1.3.2.8

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$d = - 5$

Etapa 3.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{{(\frac{5}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Etapa 3.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{6}$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{5^{2}}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.1.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{12}$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 4}{12}}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1.3.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1.3.1.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1.3.1.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 1}{3}}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{109}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{- \frac{1}{3}}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{36} (- 1 \cdot 3))$

Etapa 3.1.1.4.2.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1.5.1

Fatore $3$ de $36$ .

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{3 (12)} (- 1 \cdot 3))$

Etapa 3.1.1.4.2.1.5.2

Fatore $3$ de $- 1 \cdot 3$ .

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{3 (12)} (3 \cdot - 1))$

Etapa 3.1.1.4.2.1.5.3

Cancele o fator comum.

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{3 \cdot 12} (3 \cdot - 1))$

Etapa 3.1.1.4.2.1.5.4

Reescreva a expressão.

$e = - \frac{109}{12} - (\frac{25}{12} \cdot - 1)$

Etapa 3.1.1.4.2.1.6

Combine $\frac{25}{12}$ e $- 1$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{25 \cdot - 1}{12}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.7

Multiplique $25$ por $- 1$ .

$e = - \frac{109}{12} - \frac{- 25}{12}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{109}{12} - - \frac{25}{12}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.9

Multiplique $- - \frac{25}{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = - \frac{109}{12} + 1 (\frac{25}{12})$

Etapa 3.1.1.4.2.1.9.2

Multiplique $\frac{25}{12}$ por $1$ .

$e = - \frac{109}{12} + \frac{25}{12}$

Etapa 3.1.1.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 109 + 25}{12}$

Etapa 3.1.1.4.2.3

Some $- 109$ e $25$ .

$e = \frac{- 84}{12}$

Etapa 3.1.1.4.2.4

Divida $- 84$ por $12$ .

$e = - 7$

Etapa 3.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- \frac{1}{12} {(y - 5)}^{2} - 7$ .

$- \frac{1}{12} {(y - 5)}^{2} - 7$

Etapa 3.1.2

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = - \frac{1}{12} \cdot {(y - 5)}^{2} - 7$

Etapa 3.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$h = - 7$

$k = 5$

Etapa 3.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para a esquerda.

Abre para a esquerda

Etapa 3.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 7, 5)$

Etapa 3.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 3.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Etapa 3.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Etapa 3.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{12})}$

Etapa 3.5.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{12}}$

Etapa 3.5.3.3

Cancele o fator comum de $4$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Etapa 3.5.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Etapa 3.5.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Etapa 3.5.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Etapa 3.5.3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (1 \cdot 3)$

Etapa 3.5.3.5

Multiplique $- (1 \cdot 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.5.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 1 \cdot 3$

Etapa 3.5.3.5.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3$

Etapa 3.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 3.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 10, 5)$

Etapa 3.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 5$

Etapa 3.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 3.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - 4$

Etapa 3.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(- 7, 5)$

Foco: $(- 10, 5)$

Eixo de simetria: $y = 5$

Diretriz: $x = - 4$

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(- 7, 5)$

Foco: $(- 10, 5)$

Eixo de simetria: $y = 5$

Diretriz: $x = - 4$

Etapa 4

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua o valor $x$ $- 9$ em $f (x) = 5 + 2 \sqrt{3 (- x - 7)}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 9, 9.89897948)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 9$ na expressão.

$f (- 9) = 5 + 2 \sqrt{3 (- (- 9) - 7)}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$f (- 9) = 5 + 2 \sqrt{3 (9 - 7)}$

Etapa 4.1.2.1.2

Subtraia $7$ de $9$ .

$f (- 9) = 5 + 2 \sqrt{3 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (- 9) = 5 + 2 \sqrt{6}$

Etapa 4.1.2.2

A resposta final é $5 + 2 \sqrt{6}$ .

$y = 5 + 2 \sqrt{6}$

Etapa 4.1.3

Converta $5 + 2 \sqrt{6}$ em decimal.

$= 9.89897948$

Etapa 4.2

Substitua o valor $x$ $- 9$ em $f (x) = 5 - 2 \sqrt{3 (- x - 7)}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 9, 0.10102051)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 9$ na expressão.

$f (- 9) = 5 - 2 \sqrt{3 (- (- 9) - 7)}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$f (- 9) = 5 - 2 \sqrt{3 (9 - 7)}$

Etapa 4.2.2.1.2

Subtraia $7$ de $9$ .

$f (- 9) = 5 - 2 \sqrt{3 \cdot 2}$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (- 9) = 5 - 2 \sqrt{6}$

Etapa 4.2.2.2

A resposta final é $5 - 2 \sqrt{6}$ .

$y = 5 - 2 \sqrt{6}$

Etapa 4.2.3

Converta $5 - 2 \sqrt{6}$ em decimal.

$= 0.10102051$

Etapa 4.3

Substitua o valor $x$ $- 8$ em $f (x) = 5 + 2 \sqrt{3 (- x - 7)}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 8, 8.46410161)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 8$ na expressão.

$f (- 8) = 5 + 2 \sqrt{3 (- (- 8) - 7)}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$f (- 8) = 5 + 2 \sqrt{3 (8 - 7)}$

Etapa 4.3.2.1.2

Subtraia $7$ de $8$ .

$f (- 8) = 5 + 2 \sqrt{3 \cdot 1}$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (- 8) = 5 + 2 \sqrt{3}$

Etapa 4.3.2.2

A resposta final é $5 + 2 \sqrt{3}$ .

$y = 5 + 2 \sqrt{3}$

Etapa 4.3.3

Converta $5 + 2 \sqrt{3}$ em decimal.

$= 8.46410161$

Etapa 4.4

Substitua o valor $x$ $- 8$ em $f (x) = 5 - 2 \sqrt{3 (- x - 7)}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 8, 1.53589838)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua a variável $x$ por $- 8$ na expressão.

$f (- 8) = 5 - 2 \sqrt{3 (- (- 8) - 7)}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$f (- 8) = 5 - 2 \sqrt{3 (8 - 7)}$

Etapa 4.4.2.1.2

Subtraia $7$ de $8$ .

$f (- 8) = 5 - 2 \sqrt{3 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (- 8) = 5 - 2 \sqrt{3}$

Etapa 4.4.2.2

A resposta final é $5 - 2 \sqrt{3}$ .

$y = 5 - 2 \sqrt{3}$

Etapa 4.4.3

Converta $5 - 2 \sqrt{3}$ em decimal.

$= 1.53589838$

Etapa 4.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 9 & 9.9 \\ - 9 & 0.1 \\ - 8 & 8.46 \\ - 8 & 1.54 \\ - 7 & 5 \end{array}$

Etapa 5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(- 7, 5)$

Foco: $(- 10, 5)$

Eixo de simetria: $y = 5$

Diretriz: $x = - 4$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 9 & 9.9 \\ - 9 & 0.1 \\ - 8 & 8.46 \\ - 8 & 1.54 \\ - 7 & 5 \end{array}$

Etapa 6