Pré-cálculo Exemplos

$y = 2 \cos (x - \frac{π}{3})$

Etapa 1

Use a forma $a \cos (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = 2$

$b = 1$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 0$

Etapa 2

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $2$

Etapa 3

Encontre o período de $2 \cos (x - \frac{π}{3})$ .

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Etapa 3.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Etapa 4.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{\frac{π}{3}}{1}$

Etapa 4.3

Divida $\frac{π}{3}$ por $1$ .

Mudança de fase: $\frac{π}{3}$

Etapa 5

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $2$

Período: $2 π$

Mudança de fase: $\frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ para a direita)

Deslocamento vertical: nenhum

Etapa 6

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

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Etapa 6.1

Encontre o ponto em $x = \frac{π}{3}$ .

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Etapa 6.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{3})$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π - π}{3})$

Etapa 6.1.2.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{0}{3})$

Etapa 6.1.2.3

Divida $0$ por $3$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (0)$

Etapa 6.1.2.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cdot 1$

Etapa 6.1.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2$

Etapa 6.1.2.6

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 6.2

Encontre o ponto em $x = \frac{5 π}{6}$ .

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Etapa 6.2.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos ((\frac{5 π}{6}) - \frac{π}{3})$

Etapa 6.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Para escrever $- \frac{π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 6.2.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Etapa 6.2.2.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})$

Etapa 6.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π - π \cdot 2}{6})$

Etapa 6.2.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π - 2 π}{6})$

Etapa 6.2.2.4.2

Subtraia $2 π$ de $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 π}{6})$

Etapa 6.2.2.5

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 (π)}{6})$

Etapa 6.2.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Etapa 6.2.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Etapa 6.2.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 6.2.2.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cdot 0$

Etapa 6.2.2.7

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 0$

Etapa 6.2.2.8

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6.3

Encontre o ponto em $x = \frac{4 π}{3}$ .

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Etapa 6.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{4 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos ((\frac{4 π}{3}) - \frac{π}{3})$

Etapa 6.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{4 π - π}{3})$

Etapa 6.3.2.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

Etapa 6.3.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

Etapa 6.3.2.3.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (π)$

Etapa 6.3.2.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- \cos (0))$

Etapa 6.3.2.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 6.3.2.6

Multiplique $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cdot - 1$

Etapa 6.3.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2$

Etapa 6.3.2.7

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 6.4

Encontre o ponto em $x = \frac{11 π}{6}$ .

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Etapa 6.4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{11 π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos ((\frac{11 π}{6}) - \frac{π}{3})$

Etapa 6.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Para escrever $- \frac{π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 6.4.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Etapa 6.4.2.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})$

Etapa 6.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π - π \cdot 2}{6})$

Etapa 6.4.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π - 2 π}{6})$

Etapa 6.4.2.4.2

Subtraia $2 π$ de $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{9 π}{6})$

Etapa 6.4.2.5

Cancele o fator comum de $9$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.5.1

Fatore $3$ de $9 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{6})$

Etapa 6.4.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.5.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Etapa 6.4.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Etapa 6.4.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Etapa 6.4.2.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 6.4.2.7

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cdot 0$

Etapa 6.4.2.8

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 0$

Etapa 6.4.2.9

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6.5

Encontre o ponto em $x = \frac{7 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{7 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos ((\frac{7 π}{3}) - \frac{π}{3})$

Etapa 6.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{7 π - π}{3})$

Etapa 6.5.2.2

Subtraia $π$ de $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{6 π}{3})$

Etapa 6.5.2.3

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1

Fatore $3$ de $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})$

Etapa 6.5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

Etapa 6.5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

Etapa 6.5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{2 π}{1})$

Etapa 6.5.2.3.2.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (2 π)$

Etapa 6.5.2.4

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (0)$

Etapa 6.5.2.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cdot 1$

Etapa 6.5.2.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2$

Etapa 6.5.2.7

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 6.6

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{3} & 2 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & - 2 \\ \frac{11 π}{6} & 0 \\ \frac{7 π}{3} & 2 \end{array}$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $2$

Período: $2 π$

Mudança de fase: $\frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ para a direita)

Deslocamento vertical: nenhum

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{3} & 2 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & - 2 \\ \frac{11 π}{6} & 0 \\ \frac{7 π}{3} & 2 \end{array}$

Etapa 8