Pré-cálculo Exemplos

$y = \frac{3}{4} \cdot \cos (2 x + \frac{2 π}{3})$

Etapa 1

Use a forma $a \cos (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = \frac{3}{4}$

$b = 2$

$c = - \frac{2 π}{3}$

$d = 0$

Etapa 2

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $\frac{3}{4}$

Etapa 3

Encontre o período de $\frac{3 \cos (2 x + \frac{2 π}{3})}{4}$ .

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Etapa 3.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 3.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 3.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Etapa 4.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{- \frac{2 π}{3}}{2}$

Etapa 4.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

Mudança de fase: $- \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 π}{3}$ para o numerador.

Mudança de fase: $\frac{- 2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.2

Fatore $2$ de $- 2 π$ .

Mudança de fase: $\frac{2 (- π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.3

Cancele o fator comum.

Mudança de fase: $\frac{2 (- π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.4

Reescreva a expressão.

Mudança de fase: $\frac{- π}{3}$

Etapa 4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

Mudança de fase: $- \frac{π}{3}$

Etapa 5

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $\frac{3}{4}$

Período: $π$

Mudança de fase: $- \frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: nenhum

Etapa 6

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

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Etapa 6.1

Encontre o ponto em $x = - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 6.1.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{π}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (2 (- \frac{π}{3}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.1.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1.1

Multiplique $2 (- \frac{π}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (- 2 \frac{π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.1.2.1.1.1.2

Combine $- 2$ e $\frac{π}{3}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{- 2 π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.1.2.1.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (- \frac{2 π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.1.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{- 2 π + 2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.1.2.1.3

Some $- 2 π$ e $2 π$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{0}{3})}{4}$

Etapa 6.1.2.1.4

Divida $0$ por $3$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cos (0)}{4}$

Etapa 6.1.2.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3 \cdot 1}{4}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{3}{4}$

Etapa 6.1.2.3

A resposta final é $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Etapa 6.2

Encontre o ponto em $x = - \frac{π}{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{π}{12}$ na expressão.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (- \frac{π}{12}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{12}$ para o numerador.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{- π}{12}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.2.2.1.1.1.2

Fatore $2$ de $12$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{- π}{2 (6)}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.2.2.1.1.1.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 6}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.2.2.1.1.1.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{- π}{6} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.2.2.1.2

Para escrever $\frac{2 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{4}$

Etapa 6.2.2.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1

Multiplique $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{4}$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6})}{4}$

Etapa 6.2.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{- π + 2 π \cdot 2}{6})}{4}$

Etapa 6.2.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{- π + 4 π}{6})}{4}$

Etapa 6.2.2.1.5.2

Some $- π$ e $4 π$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{6})}{4}$

Etapa 6.2.2.1.6

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.6.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (π)}{6})}{4}$

Etapa 6.2.2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.6.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{4}$

Etapa 6.2.2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{4}$

Etapa 6.2.2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{π}{2})}{4}$

Etapa 6.2.2.1.7

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{3 \cdot 0}{4}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (- \frac{π}{12}) = \frac{0}{4}$

Etapa 6.2.2.2.2

Divida $0$ por $4$ .

$f (- \frac{π}{12}) = 0$

Etapa 6.2.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6.3

Encontre o ponto em $x = \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{π}{6}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{π}{2 (3)}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (\frac{π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.3.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (\frac{π + 2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.3.2.1.3

Some $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{3})}{4}$

Etapa 6.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{3})}{4}$

Etapa 6.3.2.1.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cos (π)}{4}$

Etapa 6.3.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 (- \cos (0))}{4}$

Etapa 6.3.2.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Etapa 6.3.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{- 3}{4}$

Etapa 6.3.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{π}{6}) = - \frac{3}{4}$

Etapa 6.3.2.3

A resposta final é $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Etapa 6.4

Encontre o ponto em $x = \frac{5 π}{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{12}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{5 π}{12}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1.1

Fatore $2$ de $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 (6)}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.4.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.4.2.1.2

Para escrever $\frac{2 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{4}$

Etapa 6.4.2.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.3.1

Multiplique $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{4}$

Etapa 6.4.2.1.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6})}{4}$

Etapa 6.4.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π + 2 π \cdot 2}{6})}{4}$

Etapa 6.4.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{5 π + 4 π}{6})}{4}$

Etapa 6.4.2.1.5.2

Some $5 π$ e $4 π$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{9 π}{6})}{4}$

Etapa 6.4.2.1.6

Cancele o fator comum de $9$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.6.1

Fatore $3$ de $9 π$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (3 π)}{6})}{4}$

Etapa 6.4.2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.6.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{4}$

Etapa 6.4.2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{4}$

Etapa 6.4.2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{3 π}{2})}{4}$

Etapa 6.4.2.1.7

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cos (\frac{π}{2})}{4}$

Etapa 6.4.2.1.8

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \cdot 0}{4}$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{0}{4}$

Etapa 6.4.2.2.2

Divida $0$ por $4$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 0$

Etapa 6.4.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6.5

Encontre o ponto em $x = \frac{2 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{2 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (2 (\frac{2 π}{3}) + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1

Multiplique $2 \frac{2 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1.1

Combine $2$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{2 (2 π)}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.5.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{4 π}{3} + \frac{2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.5.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{4 π + 2 π}{3})}{4}$

Etapa 6.5.2.1.3

Some $4 π$ e $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{6 π}{3})}{4}$

Etapa 6.5.2.1.4

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.4.1

Fatore $3$ de $6 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})}{4}$

Etapa 6.5.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})}{4}$

Etapa 6.5.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})}{4}$

Etapa 6.5.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (\frac{2 π}{1})}{4}$

Etapa 6.5.2.1.4.2.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (2 π)}{4}$

Etapa 6.5.2.1.5

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cos (0)}{4}$

Etapa 6.5.2.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \cdot 1}{4}$

Etapa 6.5.2.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{4}$

Etapa 6.5.2.3

A resposta final é $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Etapa 6.6

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{3} & \frac{3}{4} \\ - \frac{π}{12} & 0 \\ \frac{π}{6} & - \frac{3}{4} \\ \frac{5 π}{12} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & \frac{3}{4} \end{array}$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $\frac{3}{4}$

Período: $π$

Mudança de fase: $- \frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: nenhum

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{3} & \frac{3}{4} \\ - \frac{π}{12} & 0 \\ \frac{π}{6} & - \frac{3}{4} \\ \frac{5 π}{12} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & \frac{3}{4} \end{array}$

Etapa 8