Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre o domínio para $y = \sqrt{16 - x^{2}}$ de modo que uma lista de valores $x$ possa ser escolhida para encontrar uma lista de pontos, o que ajudará a representar graficamente o radical.

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Etapa 1.1

Defina o radicando em $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Etapa 1.2.2

Defina $4 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Defina $4 + x$ como igual a $0$ .

$4 + x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 1.2.3

Defina $4 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Defina $4 - x$ como igual a $0$ .

$4 - x = 0$

Etapa 1.2.3.2

Resolva $4 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- x = - 4$

Etapa 1.2.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Etapa 1.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 4, 4$

Etapa 1.2.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 1.2.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.2.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 1.2.6.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

Etapa 1.2.6.1.3

O lado esquerdo $- 20$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.2.6.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.2.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.2.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

Etapa 1.2.6.2.3

O lado esquerdo $16$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.2.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.2.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 1.2.6.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

Etapa 1.2.6.3.3

O lado esquerdo $- 20$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.2.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 1.2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 4 \leq x \leq 4$

Etapa 1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 4, 4]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Notação de intervalo:

$[- 4, 4]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Etapa 2

Para encontrar os pontos finais, substitua os limites dos valores de $x$ do domínio em $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f (- 4) = \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$f (- 4) = \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

Etapa 2.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$f (- 4) = \sqrt{0 (4 - (- 4))}$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f (- 4) = \sqrt{0 (4 + 4)}$

Etapa 2.2.4

Some $4$ e $4$ .

$f (- 4) = \sqrt{0 \cdot 8}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $0$ por $8$ .

$f (- 4) = \sqrt{0}$

Etapa 2.2.6

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (- 4) = \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.2.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- 4) = 0$

Etapa 2.2.8

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 2.3

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

Etapa 2.4

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.4.1

Remova os parênteses.

$f (4) = \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

Etapa 2.4.2

Some $4$ e $4$ .

$f (4) = \sqrt{8 (4 - (4))}$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (4) = \sqrt{8 (4 - 4)}$

Etapa 2.4.4

Subtraia $4$ de $4$ .

$f (4) = \sqrt{8 \cdot 0}$

Etapa 2.4.5

Multiplique $8$ por $0$ .

$f (4) = \sqrt{0}$

Etapa 2.4.6

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (4) = \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (4) = 0$

Etapa 2.4.8

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3

Os pontos finais são $(- 4, 0), (4, 0)$ .

$(- 4, 0), (4, 0)$

Etapa 4

Selecione alguns valores de $x$ a partir do domínio. É mais útil selecionar os valores de forma que fiquem próximos do valor $x$ do ponto final da expressão com radicais.

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Etapa 4.1

Substitua o valor $x$ $- 3$ em $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 3, \sqrt{7})$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (- 3) = \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$f (- 3) = \sqrt{1 (4 - (- 3))}$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $4 - (- 3)$ por $1$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 - (- 3)}$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 + 3}$

Etapa 4.1.2.5

Some $4$ e $3$ .

$f (- 3) = \sqrt{7}$

Etapa 4.1.2.6

A resposta final é $\sqrt{7}$ .

$y = \sqrt{7}$

Etapa 4.2

Substitua o valor $x$ $- 2$ em $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 2, 2 \sqrt{3})$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Remova os parênteses.

$f (- 2) = \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$f (- 2) = \sqrt{2 (4 - (- 2))}$

Etapa 4.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{2 (4 + 2)}$

Etapa 4.2.2.4

Some $4$ e $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{2 \cdot 6}$

Etapa 4.2.2.5

Multiplique $2$ por $6$ .

$f (- 2) = \sqrt{12}$

Etapa 4.2.2.6

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.6.1

Fatore $4$ de $12$ .

$f (- 2) = \sqrt{4 (3)}$

Etapa 4.2.2.6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 2) = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Etapa 4.2.2.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- 2) = 2 \sqrt{3}$

Etapa 4.2.2.8

A resposta final é $2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3}$

Etapa 4.3

Substitua o valor $x$ $- 1$ em $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 1, \sqrt{15})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Remova os parênteses.

$f (- 1) = \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$f (- 1) = \sqrt{3 (4 - (- 1))}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{3 (4 + 1)}$

Etapa 4.3.2.4

Some $4$ e $1$ .

$f (- 1) = \sqrt{3 \cdot 5}$

Etapa 4.3.2.5

Multiplique $3$ por $5$ .

$f (- 1) = \sqrt{15}$

Etapa 4.3.2.6

A resposta final é $\sqrt{15}$ .

$y = \sqrt{15}$

Etapa 4.4

Substitua o valor $x$ $0$ em $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Nesse caso, o ponto é $(0, 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Remova os parênteses.

$f (0) = \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

Etapa 4.4.2.2

Some $4$ e $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 (4 - (0))}$

Etapa 4.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 (4 + 0)}$

Etapa 4.4.2.4

Some $4$ e $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 \cdot 4}$

Etapa 4.4.2.5

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (0) = \sqrt{16}$

Etapa 4.4.2.6

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{4^{2}}$

Etapa 4.4.2.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (0) = 4$

Etapa 4.4.2.8

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 4.5

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, \sqrt{15})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Remova os parênteses.

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Etapa 4.5.2.2

Some $4$ e $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - (1))}$

Etapa 4.5.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - 1)}$

Etapa 4.5.2.4

Subtraia $1$ de $4$ .

$f (1) = \sqrt{5 \cdot 3}$

Etapa 4.5.2.5

Multiplique $5$ por $3$ .

$f (1) = \sqrt{15}$

Etapa 4.5.2.6

A resposta final é $\sqrt{15}$ .

$y = \sqrt{15}$

Etapa 4.6

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Nesse caso, o ponto é $(2, 2 \sqrt{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

Etapa 4.6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.1

Remova os parênteses.

$f (2) = \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

Etapa 4.6.2.2

Some $4$ e $2$ .

$f (2) = \sqrt{6 (4 - (2))}$

Etapa 4.6.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (2) = \sqrt{6 (4 - 2)}$

Etapa 4.6.2.4

Subtraia $2$ de $4$ .

$f (2) = \sqrt{6 \cdot 2}$

Etapa 4.6.2.5

Multiplique $6$ por $2$ .

$f (2) = \sqrt{12}$

Etapa 4.6.2.6

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.6.1

Fatore $4$ de $12$ .

$f (2) = \sqrt{4 (3)}$

Etapa 4.6.2.6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (2) = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Etapa 4.6.2.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (2) = 2 \sqrt{3}$

Etapa 4.6.2.8

A resposta final é $2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3}$

Etapa 4.7

Substitua o valor $x$ $3$ em $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Nesse caso, o ponto é $(3, \sqrt{7})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

Etapa 4.7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.1

Remova os parênteses.

$f (3) = \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

Etapa 4.7.2.2

Some $4$ e $3$ .

$f (3) = \sqrt{7 (4 - (3))}$

Etapa 4.7.2.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (3) = \sqrt{7 (4 - 3)}$

Etapa 4.7.2.4

Subtraia $3$ de $4$ .

$f (3) = \sqrt{7 \cdot 1}$

Etapa 4.7.2.5

Multiplique $7$ por $1$ .

$f (3) = \sqrt{7}$

Etapa 4.7.2.6

A resposta final é $\sqrt{7}$ .

$y = \sqrt{7}$

Etapa 4.8

A raiz quadrada pode ser representada graficamente usando os pontos ao redor do vértice $(- 4, 0), (4, 0), (- 3, 2.65), (- 2, 3.46), (- 1, 3.87), (0, 4), (1, 3.87), (2, 3.46), (3, 2.65)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & 2.65 \\ - 2 & 3.46 \\ - 1 & 3.87 \\ 0 & 4 \\ 1 & 3.87 \\ 2 & 3.46 \\ 3 & 2.65 \\ 4 & 0 \end{array}$

Etapa 5