Pré-cálculo Exemplos

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$

Etapa 1

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.1

Reescreva.

$x - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$

Etapa 1.2

Reescreva ${(y - 1)}^{2}$ como $(y - 1) (y - 1)$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot ((y - 1) (y - 1))$

Etapa 1.3

Expanda $(y - 1) (y - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y (y - 1) - 1 (y - 1))$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1))$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Etapa 1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Etapa 1.4.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Etapa 1.4.1.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Etapa 1.4.1.4

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - y - 1 \cdot - 1)$

Etapa 1.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - y + 1)$

Etapa 1.4.2

Subtraia $y$ de $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - 2 y + 1)$

Etapa 1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 4 = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} (- 2 y) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- 2 y) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 1.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.6.2.1

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- y)) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- y)) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 1.6.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2}$

Etapa 2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + 4$

Etapa 2.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.3

Combine $4$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1 + 4 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1 + 8}{2}$

Etapa 2.5.2

Some $1$ e $8$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{9}{2}$

Etapa 3

Encontre as propriedades da parábola em questão.

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Etapa 3.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 3.1.1

Complete o quadrado de $\frac{y^{2}}{2} - y + \frac{9}{2}$ .

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Etapa 3.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = \frac{9}{2}$

Etapa 3.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 3.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 3.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 3.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.1.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

Etapa 3.1.1.3.2.2

Divida $2$ por $2$ .

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 3.1.1.3.2.3

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 3.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 3.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 3.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1.4.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.3

Divida $4$ por $2$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 3.1.1.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{9 - 1}{2}$

Etapa 3.1.1.4.2.3

Subtraia $1$ de $9$ .

$e = \frac{8}{2}$

Etapa 3.1.1.4.2.4

Divida $8$ por $2$ .

$e = 4$

Etapa 3.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{2} {(y - 1)}^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(y - 1)}^{2} + 4$

Etapa 3.1.2

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2} + 4$

Etapa 3.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = 1$

Etapa 3.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 3.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(4, 1)$

Etapa 3.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 3.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 3.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 3.5.3

Simplifique.

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Etapa 3.5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Etapa 3.5.3.2

Divida $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 3.6

Encontre o foco.

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Etapa 3.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 3.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{9}{2}, 1)$

Etapa 3.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 1$

Etapa 3.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 3.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 3.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = \frac{7}{2}$

Etapa 3.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(4, 1)$

Foco: $(\frac{9}{2}, 1)$

Eixo de simetria: $y = 1$

Diretriz: $x = \frac{7}{2}$

Direção: abre para a direita

Vértice: $(4, 1)$

Foco: $(\frac{9}{2}, 1)$

Eixo de simetria: $y = 1$

Diretriz: $x = \frac{7}{2}$

Etapa 4

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 4.1

Substitua o valor $x$ $5$ em $f (x) = \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . Nesse caso, o ponto é $(5, 2.41421356)$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = \sqrt{2 ((5) - 4)} + 1$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Subtraia $4$ de $5$ .

$f (5) = \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (5) = \sqrt{2} + 1$

Etapa 4.1.2.2

A resposta final é $\sqrt{2} + 1$ .

$y = \sqrt{2} + 1$

Etapa 4.1.3

Converta $\sqrt{2} + 1$ em decimal.

$= 2.41421356$

Etapa 4.2

Substitua o valor $x$ $5$ em $f (x) = - \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . Nesse caso, o ponto é $(5, - 0.41421356)$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = - \sqrt{2 ((5) - 4)} + 1$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Subtraia $4$ de $5$ .

$f (5) = - \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (5) = - \sqrt{2} + 1$

Etapa 4.2.2.2

A resposta final é $- \sqrt{2} + 1$ .

$y = - \sqrt{2} + 1$

Etapa 4.2.3

Converta $- \sqrt{2} + 1$ em decimal.

$= - 0.41421356$

Etapa 4.3

Substitua o valor $x$ $6$ em $f (x) = \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . Nesse caso, o ponto é $(6, 3)$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = \sqrt{2 ((6) - 4)} + 1$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Subtraia $4$ de $6$ .

$f (6) = \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (6) = \sqrt{4} + 1$

Etapa 4.3.2.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (6) = \sqrt{2^{2}} + 1$

Etapa 4.3.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (6) = 2 + 1$

Etapa 4.3.2.2

Some $2$ e $1$ .

$f (6) = 3$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $3$ .

$y = 3$

Etapa 4.3.3

Converta $3$ em decimal.

$= 3$

Etapa 4.4

Substitua o valor $x$ $6$ em $f (x) = - \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . Nesse caso, o ponto é $(6, - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = - \sqrt{2 ((6) - 4)} + 1$

Etapa 4.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1

Subtraia $4$ de $6$ .

$f (6) = - \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Etapa 4.4.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (6) = - \sqrt{4} + 1$

Etapa 4.4.2.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (6) = - \sqrt{2^{2}} + 1$

Etapa 4.4.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (6) = - 1 \cdot 2 + 1$

Etapa 4.4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (6) = - 2 + 1$

Etapa 4.4.2.2

Some $- 2$ e $1$ .

$f (6) = - 1$

Etapa 4.4.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 4.4.3

Converta $- 1$ em decimal.

$= - 1$

Etapa 4.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 1 \\ 5 & 2.41 \\ 5 & - 0.41 \\ 6 & 3 \\ 6 & - 1 \end{array}$

Etapa 5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(4, 1)$

Foco: $(\frac{9}{2}, 1)$

Eixo de simetria: $y = 1$

Diretriz: $x = \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 1 \\ 5 & 2.41 \\ 5 & - 0.41 \\ 6 & 3 \\ 6 & - 1 \end{array}$

Etapa 6