Pré-cálculo Exemplos

$y + 2 = - 2 {(x + 3)}^{2}$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

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Etapa 1.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y = - 2 {(x + 3)}^{2} - 2$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 2$

$h = - 3$

$k = - 2$

Etapa 1.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 1.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 3, - 2)$

Etapa 1.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Etapa 1.5.3

Simplifique.

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Etapa 1.5.3.1

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Etapa 1.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{8}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

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Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 3, - \frac{17}{8})$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 3$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{15}{8}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(- 3, - 2)$

Foco: $(- 3, - \frac{17}{8})$

Eixo de simetria: $x = - 3$

Diretriz: $y = - \frac{15}{8}$

Direção: abre para baixo

Vértice: $(- 3, - 2)$

Foco: $(- 3, - \frac{17}{8})$

Eixo de simetria: $x = - 3$

Diretriz: $y = - \frac{15}{8}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f (- 4) = - 2 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4 - 20$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f (- 4) = - 2 \cdot 16 - 12 \cdot - 4 - 20$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $16$ .

$f (- 4) = - 32 - 12 \cdot - 4 - 20$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $- 4$ .

$f (- 4) = - 32 + 48 - 20$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.2.2.1

Some $- 32$ e $48$ .

$f (- 4) = 16 - 20$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $20$ de $16$ .

$f (- 4) = - 4$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = - 4$ é $- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = - 2 {(- 5)}^{2} - 12 \cdot - 5 - 20$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = - 2 \cdot 25 - 12 \cdot - 5 - 20$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $- 2$ por $25$ .

$f (- 5) = - 50 - 12 \cdot - 5 - 20$

Etapa 2.5.1.3

Multiplique $- 12$ por $- 5$ .

$f (- 5) = - 50 + 60 - 20$

Etapa 2.5.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Some $- 50$ e $60$ .

$f (- 5) = 10 - 20$

Etapa 2.5.2.2

Subtraia $20$ de $10$ .

$f (- 5) = - 10$

Etapa 2.5.3

A resposta final é $- 10$ .

$- 10$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = - 5$ é $- 10$ .

$y = - 10$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 20$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Multiplique $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1.1

Multiplique $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $1$ .

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 20$

Etapa 2.8.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 2} - 12 \cdot - 2 - 20$

Etapa 2.8.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2 - 20$

Etapa 2.8.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (- 2) = - 8 - 12 \cdot - 2 - 20$

Etapa 2.8.1.3

Multiplique $- 12$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 + 24 - 20$

Etapa 2.8.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.8.2.1

Some $- 8$ e $24$ .

$f (- 2) = 16 - 20$

Etapa 2.8.2.2

Subtraia $20$ de $16$ .

$f (- 2) = - 4$

Etapa 2.8.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = - 2$ é $- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - 2 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1 - 20$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = - 2 \cdot 1 - 12 \cdot - 1 - 20$

Etapa 2.11.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 12 \cdot - 1 - 20$

Etapa 2.11.1.3

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + 12 - 20$

Etapa 2.11.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.2.1

Some $- 2$ e $12$ .

$f (- 1) = 10 - 20$

Etapa 2.11.2.2

Subtraia $20$ de $10$ .

$f (- 1) = - 10$

Etapa 2.11.3

A resposta final é $- 10$ .

$- 10$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = - 1$ é $- 10$ .

$y = - 10$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 10 \\ - 4 & - 4 \\ - 3 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 10 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(- 3, - 2)$

Foco: $(- 3, - \frac{17}{8})$

Eixo de simetria: $x = - 3$

Diretriz: $y = - \frac{15}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 10 \\ - 4 & - 4 \\ - 3 & - 2 \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 10 \end{array}$

Etapa 4