Pré-cálculo Exemplos

$y = - 3 \cos (π - x) - 2$

Etapa 1

Use a forma $a \cos (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = - 3$

$b = - 1$

$c = - π$

$d = - 2$

Etapa 2

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $3$

Etapa 3

Encontre o período usando a fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Etapa 3.1

Encontre o período de $- 3 \cos (π - x)$ .

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Etapa 3.1.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.1.2

Substitua $b$ por $- 1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| - 1 |}$

Etapa 3.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 1$ e $0$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.1.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.2

Encontre o período de $- 2$ .

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Etapa 3.2.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.2

Substitua $b$ por $- 1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| - 1 |}$

Etapa 3.2.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 1$ e $0$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.2.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.3

O período de adição/subtração das funções trigonométricas é o máximo dos períodos individuais.

$2 π$

Etapa 4

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Etapa 4.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{- π}{- 1}$

Etapa 4.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

Mudança de fase: $\frac{π}{1}$

Etapa 4.4

Divida $π$ por $1$ .

Mudança de fase: $π$

Etapa 5

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $3$

Período: $2 π$

Mudança de fase: $π$ ( $π$ para a direita)

Deslocamento vertical: $- 2$

Etapa 6

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

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Etapa 6.1

Encontre o ponto em $x = π$ .

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Etapa 6.1.1

Substitua a variável $x$ por $π$ na expressão.

$f (π) = - 3 \cos (- (π) + π) - 2$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.2.1.1

Some $- π$ e $π$ .

$f (π) = - 3 \cos (0) - 2$

Etapa 6.1.2.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (π) = - 3 \cdot 1 - 2$

Etapa 6.1.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f (π) = - 3 - 2$

Etapa 6.1.2.2

Subtraia $2$ de $- 3$ .

$f (π) = - 5$

Etapa 6.1.2.3

A resposta final é $- 5$ .

$- 5$

Etapa 6.2

Encontre o ponto em $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Etapa 6.2.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (- (\frac{3 π}{2}) + π) - 2$

Etapa 6.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.2.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{3 π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) - 2$

Etapa 6.2.2.1.2

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{3 π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) - 2$

Etapa 6.2.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 3 π + π \cdot 2}{2}) - 2$

Etapa 6.2.2.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.2.1.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 3 π + 2 \cdot π}{2}) - 2$

Etapa 6.2.2.1.4.2

Some $- 3 π$ e $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- π}{2}) - 2$

Etapa 6.2.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{π}{2}) - 2$

Etapa 6.2.2.1.6

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{2}) - 2$

Etapa 6.2.2.1.7

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{π}{2}) - 2$

Etapa 6.2.2.1.8

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cdot 0 - 2$

Etapa 6.2.2.1.9

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0 - 2$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2$

Etapa 6.2.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 6.3

Encontre o ponto em $x = 2 π$ .

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Etapa 6.3.1

Substitua a variável $x$ por $2 π$ na expressão.

$f (2 π) = - 3 \cos (- (2 π) + π) - 2$

Etapa 6.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (2 π) = - 3 \cos (- 2 π + π) - 2$

Etapa 6.3.2.1.2

Some $- 2 π$ e $π$ .

$f (2 π) = - 3 \cos (- π) - 2$

Etapa 6.3.2.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (2 π) = - 3 (- \cos (0)) - 2$

Etapa 6.3.2.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (2 π) = - 3 (- 1 \cdot 1) - 2$

Etapa 6.3.2.1.5

Multiplique $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 6.3.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (2 π) = - 3 \cdot - 1 - 2$

Etapa 6.3.2.1.5.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f (2 π) = 3 - 2$

Etapa 6.3.2.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$f (2 π) = 1$

Etapa 6.3.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 6.4

Encontre o ponto em $x = \frac{5 π}{2}$ .

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Etapa 6.4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (- (\frac{5 π}{2}) + π) - 2$

Etapa 6.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.2.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{5 π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) - 2$

Etapa 6.4.2.1.2

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{5 π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) - 2$

Etapa 6.4.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 5 π + π \cdot 2}{2}) - 2$

Etapa 6.4.2.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.2.1.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 5 π + 2 \cdot π}{2}) - 2$

Etapa 6.4.2.1.4.2

Some $- 5 π$ e $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{- 3 π}{2}) - 2$

Etapa 6.4.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (- \frac{(3) π}{2}) - 2$

Etapa 6.4.2.1.6

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cos (\frac{π}{2}) - 2$

Etapa 6.4.2.1.7

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cdot 0 - 2$

Etapa 6.4.2.1.8

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 0 - 2$

Etapa 6.4.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 2$

Etapa 6.4.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 6.5

Encontre o ponto em $x = 3 π$ .

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Etapa 6.5.1

Substitua a variável $x$ por $3 π$ na expressão.

$f (3 π) = - 3 \cos (- (3 π) + π) - 2$

Etapa 6.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (3 π) = - 3 \cos (- 3 π + π) - 2$

Etapa 6.5.2.1.2

Some $- 3 π$ e $π$ .

$f (3 π) = - 3 \cos (- 2 π) - 2$

Etapa 6.5.2.1.3

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (3 π) = - 3 \cos (0) - 2$

Etapa 6.5.2.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (3 π) = - 3 \cdot 1 - 2$

Etapa 6.5.2.1.5

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f (3 π) = - 3 - 2$

Etapa 6.5.2.2

Subtraia $2$ de $- 3$ .

$f (3 π) = - 5$

Etapa 6.5.2.3

A resposta final é $- 5$ .

$- 5$

Etapa 6.6

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ π & - 5 \\ \frac{3 π}{2} & - 2 \\ 2 π & 1 \\ \frac{5 π}{2} & - 2 \\ 3 π & - 5 \end{array}$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $3$

Período: $2 π$

Mudança de fase: $π$ ( $π$ para a direita)

Deslocamento vertical: $- 2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ π & - 5 \\ \frac{3 π}{2} & - 2 \\ 2 π & 1 \\ \frac{5 π}{2} & - 2 \\ 3 π & - 5 \end{array}$

Etapa 8