Pré-cálculo Exemplos

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Etapa 1

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique $- \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva.

$y - 5 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Etapa 1.1.2

Reescreva ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot ((x - 3) (x - 3))$

Etapa 1.1.3

Expanda $(x - 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x (x - 3) - 3 (x - 3))$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))$

Etapa 1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Etapa 1.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Etapa 1.1.4.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Etapa 1.1.4.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)$

Etapa 1.1.4.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 x + 9)$

Etapa 1.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 5 = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Etapa 1.1.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Etapa 1.1.6.2.2

Fatore $2$ de $- 6 x$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Etapa 1.1.6.2.3

Cancele o fator comum.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Etapa 1.1.6.2.4

Reescreva a expressão.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - 1 (- 3 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Etapa 1.1.6.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{1}{2} \cdot 9$

Etapa 1.1.6.4

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.4.1

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 9 (\frac{1}{2})$

Etapa 1.1.6.4.2

Combine $- 9$ e $\frac{1}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9}{2}$

Etapa 1.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2}$

Etapa 1.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5$

Etapa 1.2.2

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.2.3

Combine $5$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Etapa 1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 5 \cdot 2}{2}$

Etapa 1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 10}{2}$

Etapa 1.2.5.2

Some $- 9$ e $10$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

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Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $- \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = \frac{1}{2}$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$d = \frac{3}{- 2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Divida $- 2$ por $2$ .

$d = \frac{3}{- 1}$

Etapa 2.1.1.3.2.3

Divida $3$ por $- 1$ .

$d = - 3$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{3^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{4 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{\frac{- 4}{2}}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Divida $- 4$ por $2$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 2}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = \frac{1}{2} - - \frac{9}{2}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.5

Multiplique $- - \frac{9}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = \frac{1}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

Etapa 2.1.1.4.2.1.5.2

Multiplique $\frac{9}{2}$ por $1$ .

$e = \frac{1}{2} + \frac{9}{2}$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{1 + 9}{2}$

Etapa 2.1.1.4.2.3

Some $1$ e $9$ .

$e = \frac{10}{2}$

Etapa 2.1.1.4.2.4

Divida $10$ por $2$ .

$e = 5$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$

Etapa 2.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} + 5$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 5$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(3, 5)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.5.3

Simplifique.

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Etapa 2.5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Etapa 2.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 2.5.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Etapa 2.5.3.3

Divida $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

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Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(3, \frac{9}{2})$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 3$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{11}{2}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(3, 5)$

Foco: $(3, \frac{9}{2})$

Eixo de simetria: $x = 3$

Diretriz: $y = \frac{11}{2}$

Direção: abre para baixo

Vértice: $(3, 5)$

Foco: $(3, \frac{9}{2})$

Eixo de simetria: $x = 3$

Diretriz: $y = \frac{11}{2}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 3 (1) + \frac{1}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- {(1)}^{2} + 1}{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 \cdot 1 + 1}{2}$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 + 1}{2}$

Etapa 3.2.3

Some $- 1$ e $1$ .

$f (1) = 3 (1) + \frac{0}{2}$

Etapa 3.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (1) = 3 + \frac{0}{2}$

Etapa 3.2.4.2

Divida $0$ por $2$ .

$f (1) = 3 + 0$

Etapa 3.2.5

Some $3$ e $0$ .

$f (1) = 3$

Etapa 3.2.6

A resposta final é $3$ .

$3$

Etapa 3.3

O valor $y$ em $x = 1$ é $3$ .

$y = 3$

Etapa 3.4

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 3 (2) + \frac{1}{2}$

Etapa 3.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2) = 3 (2) + \frac{- {(2)}^{2} + 1}{2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{2}$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 4 + 1}{2}$

Etapa 3.5.3

Some $- 4$ e $1$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.5.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (2) = 6 + \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.5.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (2) = 6 - \frac{3}{2}$

Etapa 3.5.5

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 3.5.6

Combine $6$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 3.5.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2) = \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

Etapa 3.5.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$f (2) = \frac{12 - 3}{2}$

Etapa 3.5.8.2

Subtraia $3$ de $12$ .

$f (2) = \frac{9}{2}$

Etapa 3.5.9

A resposta final é $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Etapa 3.6

O valor $y$ em $x = 2$ é $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Etapa 3.7

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 3 (5) + \frac{1}{2}$

Etapa 3.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (5) = 3 (5) + \frac{- {(5)}^{2} + 1}{2}$

Etapa 3.8.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 1 \cdot 25 + 1}{2}$

Etapa 3.8.2.2

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 25 + 1}{2}$

Etapa 3.8.3

Some $- 25$ e $1$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 24}{2}$

Etapa 3.8.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$f (5) = 15 + \frac{- 24}{2}$

Etapa 3.8.4.2

Divida $- 24$ por $2$ .

$f (5) = 15 - 12$

Etapa 3.8.5

Subtraia $12$ de $15$ .

$f (5) = 3$

Etapa 3.8.6

A resposta final é $3$ .

$3$

Etapa 3.9

O valor $y$ em $x = 5$ é $3$ .

$y = 3$

Etapa 3.10

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{2} + 3 (4) + \frac{1}{2}$

Etapa 3.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (4) = 3 (4) + \frac{- {(4)}^{2} + 1}{2}$

Etapa 3.11.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 1 \cdot 16 + 1}{2}$

Etapa 3.11.2.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 16 + 1}{2}$

Etapa 3.11.3

Some $- 16$ e $1$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 15}{2}$

Etapa 3.11.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$f (4) = 12 + \frac{- 15}{2}$

Etapa 3.11.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (4) = 12 - \frac{15}{2}$

Etapa 3.11.5

Para escrever $12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

Etapa 3.11.6

Combine $12$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

Etapa 3.11.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (4) = \frac{12 \cdot 2 - 15}{2}$

Etapa 3.11.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.8.1

Multiplique $12$ por $2$ .

$f (4) = \frac{24 - 15}{2}$

Etapa 3.11.8.2

Subtraia $15$ de $24$ .

$f (4) = \frac{9}{2}$

Etapa 3.11.9

A resposta final é $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Etapa 3.12

O valor $y$ em $x = 4$ é $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Etapa 3.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(3, 5)$

Foco: $(3, \frac{9}{2})$

Eixo de simetria: $x = 3$

Diretriz: $y = \frac{11}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

Etapa 5