Pré-cálculo Exemplos

$p (x) = (x - 1) (x + 2)$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

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Etapa 1.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1.1

Complete o quadrado de $(x - 1) (x + 2)$ .

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Etapa 1.1.1.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.1.1

Expanda $(x - 1) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x + 2) - 1 (x + 2)$

Etapa 1.1.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)$

Etapa 1.1.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2$

Etapa 1.1.1.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.1.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2$

Etapa 1.1.1.1.2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2$

Etapa 1.1.1.1.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2$

Etapa 1.1.1.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{2} + 2 x - x - 2$

Etapa 1.1.1.1.2.2

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$x^{2} + x - 2$

Etapa 1.1.1.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = - 2$

Etapa 1.1.1.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.1.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.1.1.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 1.1.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{2}$

Etapa 1.1.1.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.1.1.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.1.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.5.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = - 2 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = - 2 - \frac{1}{4}$

Etapa 1.1.1.5.2.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$e = - 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 1.1.1.5.2.3

Combine $- 2$ e $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 2 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 1.1.1.5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 2 \cdot 4 - 1}{4}$

Etapa 1.1.1.5.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.5.2.5.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$e = \frac{- 8 - 1}{4}$

Etapa 1.1.1.5.2.5.2

Subtraia $1$ de $- 8$ .

$e = \frac{- 9}{4}$

Etapa 1.1.1.5.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{9}{4}$

Etapa 1.1.1.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Etapa 1.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = - \frac{9}{4}$

Etapa 1.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 1.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

Etapa 1.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

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Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \frac{1}{2}, - 2)$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{5}{2}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

Foco: $(- \frac{1}{2}, - 2)$

Eixo de simetria: $x = - \frac{1}{2}$

Diretriz: $y = - \frac{5}{2}$

Direção: abre para cima

Vértice: $(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

Foco: $(- \frac{1}{2}, - 2)$

Eixo de simetria: $x = - \frac{1}{2}$

Diretriz: $y = - \frac{5}{2}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = ((- 1) - 1) ((- 1) + 2)$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 ((- 1) + 2)$

Etapa 2.2.2

Some $- 1$ e $2$ .

$f (- 1) = - 2 \cdot 1$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (- 1) = - 2$

Etapa 2.2.4

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = - 1$ é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = ((- 2) - 1) ((- 2) + 2)$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.5.1

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$f (- 2) = - 3 ((- 2) + 2)$

Etapa 2.5.2

Some $- 2$ e $2$ .

$f (- 2) = - 3 \cdot 0$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$f (- 2) = 0$

Etapa 2.5.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = - 2$ é $0$ .

$y = 0$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = ((1) - 1) ((1) + 2)$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.8.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (1) = 0 ((1) + 2)$

Etapa 2.8.2

Some $1$ e $2$ .

$f (1) = 0 \cdot 3$

Etapa 2.8.3

Multiplique $0$ por $3$ .

$f (1) = 0$

Etapa 2.8.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = 1$ é $0$ .

$y = 0$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = ((2) - 1) ((2) + 2)$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.11.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (2) = 1 ((2) + 2)$

Etapa 2.11.2

Multiplique $(2) + 2$ por $1$ .

$f (2) = (2) + 2$

Etapa 2.11.3

Some $2$ e $2$ .

$f (2) = 4$

Etapa 2.11.4

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = 2$ é $4$ .

$y = 4$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 2 \\ - \frac{1}{2} & - \frac{9}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & 4 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

Foco: $(- \frac{1}{2}, - 2)$

Eixo de simetria: $x = - \frac{1}{2}$

Diretriz: $y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 2 \\ - \frac{1}{2} & - \frac{9}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & 4 \end{array}$

Etapa 4