Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 5 \tan (\frac{1}{4} x + \frac{π}{4}) - 2$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

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Etapa 1.1

Em qualquer $y = \tan (x)$ , as assíntotas verticais ocorrem em $x = \frac{π}{2} + n π$ , em que $n$ é um número inteiro. Use o período básico de $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , para encontrar as assíntotas verticais de $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ . Defina a parte interna da função da tangente e, $b x + c$ , para $y = a \tan (b x + c) + d$ igual a $- \frac{π}{2}$ para encontrar onde a assíntota vertical ocorre para $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ .

$\frac{x}{4} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.2.1.1

Subtraia $\frac{π}{4}$ dos dois lados da equação.

$\frac{x}{4} = - \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.1.2

Para escrever $- \frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.2.1.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.1.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x}{4} = - \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x}{4} = \frac{- π \cdot 2 - π}{4}$

Etapa 1.2.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.1.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x}{4} = \frac{- 2 π - π}{4}$

Etapa 1.2.1.5.2

Subtraia $π$ de $- 2 π$ .

$\frac{x}{4} = \frac{- 3 π}{4}$

Etapa 1.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x}{4} = - \frac{3 π}{4}$

Etapa 1.2.2

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$x = - 3 π$

Etapa 1.3

Defina a parte interna da função da tangente $\frac{x}{4} + \frac{π}{4}$ como igual a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Etapa 1.4

Resolva $x$ .

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Etapa 1.4.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.4.1.1

Subtraia $\frac{π}{4}$ dos dois lados da equação.

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Etapa 1.4.1.2

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Etapa 1.4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.4.1.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Etapa 1.4.1.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 1.4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Etapa 1.4.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.4.1.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{x}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

Etapa 1.4.1.5.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π}{4}$

Etapa 1.4.2

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$x = π$

Etapa 1.5

O período básico para $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ ocorrerá em $(- 3 π, π)$ , em que $- 3 π$ e $π$ são assíntotas verticais.

$(- 3 π, π)$

Etapa 1.6

Encontre o período $\frac{π}{| b |}$ para descobrir onde existem assíntotas verticais.

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Etapa 1.6.1

$\frac{1}{4}$ é aproximadamente $0.25$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.6.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$π \cdot 4$

Etapa 1.6.3

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$4 π$

Etapa 1.7

As assíntotas verticais de $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ ocorrem em $- 3 π$ , $π$ e a cada $x = - 3 π + 4 π n$ , em que $n$ é um número inteiro.

$x = - 3 π + 4 π n$

Etapa 1.8

A tangente só tem assíntotas verticais.

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = - 3 π + 4 π n$ , em que $n$ é um número inteiro

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = - 3 π + 4 π n$ , em que $n$ é um número inteiro

Etapa 2

Use a forma $a \tan (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = 5$

$b = \frac{1}{4}$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = - 2$

Etapa 3

Como o gráfico da função $t a n$ não tem um valor máximo nem mínimo, não pode haver valor para a amplitude.

Amplitude: nenhuma

Etapa 4

Encontre o período usando a fórmula $\frac{π}{| b |}$ .

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Etapa 4.1

Encontre o período de $5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ .

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Etapa 4.1.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.1.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{4}$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

Etapa 4.1.3

$\frac{1}{4}$ é aproximadamente $0.25$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Etapa 4.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$π \cdot 4$

Etapa 4.1.5

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$4 π$

Etapa 4.2

Encontre o período de $- 2$ .

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Etapa 4.2.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.2.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{4}$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

Etapa 4.2.3

$\frac{1}{4}$ é aproximadamente $0.25$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Etapa 4.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$π \cdot 4$

Etapa 4.2.5

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$4 π$

Etapa 4.3

O período de adição/subtração das funções trigonométricas é o máximo dos períodos individuais.

$4 π$

Etapa 5

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Etapa 5.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{- \frac{π}{4}}{\frac{1}{4}}$

Etapa 5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

Mudança de fase: $- \frac{π}{4} \cdot 4$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{4}$ para o numerador.

Mudança de fase: $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

Mudança de fase: $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

Mudança de fase: $- π$

Etapa 6

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: nenhuma

Período: $4 π$

Mudança de fase: $- π$ ( $π$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: $- 2$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Assíntotas verticais: $x = - 3 π + 4 π n$ , em que $n$ é um número inteiro

Amplitude: nenhuma

Período: $4 π$

Mudança de fase: $- π$ ( $π$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: $- 2$

Etapa 8