Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x + 11$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Complete o quadrado de $3 x^{2} - 12 x + 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 3$

$b = - 12$

$c = 11$

Etapa 1.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 12$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (3)}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 6}{3}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.2.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3}$

Etapa 1.1.1.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)}$

Etapa 1.1.1.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{1}$

Etapa 1.1.1.3.2.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Etapa 1.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 11 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Etapa 1.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$e = 11 - \frac{144}{4 \cdot 3}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$e = 11 - \frac{144}{12}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.3

Divida $144$ por $12$ .

$e = 11 - 1 \cdot 12$

Etapa 1.1.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$e = 11 - 12$

Etapa 1.1.1.4.2.2

Subtraia $12$ de $11$ .

$e = - 1$

Etapa 1.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $3 {(x - 2)}^{2} - 1$ .

$3 {(x - 2)}^{2} - 1$

Etapa 1.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - 1$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 3$

$h = 2$

$k = - 1$

Etapa 1.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 1.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(2, - 1)$

Etapa 1.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Etapa 1.5.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{1}{12}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(2, - \frac{11}{12})$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 2$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{13}{12}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(2, - 1)$

Foco: $(2, - \frac{11}{12})$

Eixo de simetria: $x = 2$

Diretriz: $y = - \frac{13}{12}$

Direção: abre para cima

Vértice: $(2, - 1)$

Foco: $(2, - \frac{11}{12})$

Eixo de simetria: $x = 2$

Diretriz: $y = - \frac{13}{12}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 11$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 11$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 12 \cdot 1 + 11$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 12 + 11$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Subtraia $12$ de $3$ .

$f (1) = - 9 + 11$

Etapa 2.2.2.2

Some $- 9$ e $11$ .

$f (1) = 2$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = 1$ é $2$ .

$y = 2$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 11$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 11$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 11$

Etapa 2.5.1.3

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 11$

Etapa 2.5.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 11$

Etapa 2.5.2.2

Some $0$ e $11$ .

$f (0) = 11$

Etapa 2.5.3

A resposta final é $11$ .

$11$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = 0$ é $11$ .

$y = 11$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 11$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 11$

Etapa 2.8.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (3) = 3^{1 + 2} - 12 \cdot 3 + 11$

Etapa 2.8.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (3) = 3^{3} - 12 \cdot 3 + 11$

Etapa 2.8.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = 27 - 12 \cdot 3 + 11$

Etapa 2.8.1.3

Multiplique $- 12$ por $3$ .

$f (3) = 27 - 36 + 11$

Etapa 2.8.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Subtraia $36$ de $27$ .

$f (3) = - 9 + 11$

Etapa 2.8.2.2

Some $- 9$ e $11$ .

$f (3) = 2$

Etapa 2.8.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = 3$ é $2$ .

$y = 2$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = 3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 11$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 11$

Etapa 2.11.1.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f (4) = 48 - 12 \cdot 4 + 11$

Etapa 2.11.1.3

Multiplique $- 12$ por $4$ .

$f (4) = 48 - 48 + 11$

Etapa 2.11.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.2.1

Subtraia $48$ de $48$ .

$f (4) = 0 + 11$

Etapa 2.11.2.2

Some $0$ e $11$ .

$f (4) = 11$

Etapa 2.11.3

A resposta final é $11$ .

$11$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = 4$ é $11$ .

$y = 11$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 11 \\ 1 & 2 \\ 2 & - 1 \\ 3 & 2 \\ 4 & 11 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(2, - 1)$

Foco: $(2, - \frac{11}{12})$

Eixo de simetria: $x = 2$

Diretriz: $y = - \frac{13}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 11 \\ 1 & 2 \\ 2 & - 1 \\ 3 & 2 \\ 4 & 11 \end{array}$

Etapa 4