Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{4} - 16 x^{2} \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{4} - 16 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} - 16 x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 16 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- 16 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ .

$x^{2} (x^{2} - 16) = 0$

Etapa 2.2.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore.

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Etapa 2.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$x^{2} ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.6

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 4, 4$

Etapa 2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

${(- 6)}^{4} - 16 {(- 6)}^{2} \geq 0$

Etapa 2.9.1.3

O lado esquerdo $720$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.9.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 2.9.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

${(- 2)}^{4} - 16 {(- 2)}^{2} \geq 0$

Etapa 2.9.2.3

O lado esquerdo $- 48$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.9.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 2.9.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

${(2)}^{4} - 16 {(2)}^{2} \geq 0$

Etapa 2.9.3.3

O lado esquerdo $- 48$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.9.4

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 2.9.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

${(6)}^{4} - 16 {(6)}^{2} \geq 0$

Etapa 2.9.4.3

O lado esquerdo $720$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

$x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

Etapa 2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 4$ ou $x \geq 4$ ou $x = 0$

Etapa 2.11

Combine os intervalos.

$x \leq - 4 or x = 0 or x \geq 4$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

Etapa 4

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \geq 0}$

Etapa 5

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty), {x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

Intervalo: $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

Etapa 6