Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{\infty} 12 {(- 0.7)}^{i - 1}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica infinita pode ser encontrada pela fórmula $\frac{a}{1 - r}$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{12 {(- 0.7)}^{i + 1 - 1}}{12 {(- 0.7)}^{i - 1}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{12 {(- 0.7)}^{i + 1 - 1}}{12 {(- 0.7)}^{i - 1}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i + 1 - 1}}{{(- 0.7)}^{i - 1}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de ${(- 0.7)}^{i + 1 - 1}$ e ${(- 0.7)}^{i - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore ${(- 0.7)}^{i - 1}$ de ${(- 0.7)}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i - 1} {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- 0.7)}^{i - 1}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i - 1} {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- 0.7)}^{i - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i - 1} {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- 0.7)}^{i - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida ${(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}$ por $1$ .

$r = {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}$

Etapa 2.2.3

Some $i$ e $0$ .

$r = {(- 0.7)}^{i - (i - 1)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(- 0.7)}^{i - i - - 1}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- 0.7)}^{i - i + 1}$

Etapa 2.2.5

Subtraia $i$ de $i$ .

$r = {(- 0.7)}^{0 + 1}$

Etapa 2.2.6

Some $0$ e $1$ .

$r = {(- 0.7)}^{1}$

Etapa 2.2.7

Avalie o expoente.

$r = - 0.7$

Etapa 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Etapa 4

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $1$ por $i$ em $12 {(- 0.7)}^{i - 1}$ .

$a = 12 {(- 0.7)}^{1 - 1}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = 12 {(- 0.7)}^{0}$

Etapa 4.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 12 \cdot 1$

Etapa 4.2.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$a = 12$

Etapa 5

Substitua os valores da razão e o primeiro termo na fórmula da soma.

$\frac{12}{1 + 0.7}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Some $1$ e $0.7$ .

$\frac{12}{1.7}$

Etapa 6.2

Divida $12$ por $1.7$ .

$7.05882352$