Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{2} + 3 x - 7$

Etapa 1

O mínimo de uma função quadrática ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ for positivo, o valor mínimo da função será $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$

Etapa 2

Encontre o valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ .

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

Etapa 2.2

Remova os parênteses.

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = - \frac{3}{10}$

Etapa 3

Avalie $f (- \frac{3}{10})$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3}{10}$ na expressão.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 {(- \frac{3}{10})}^{2} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{10})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (1 (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $\frac{3^{2}}{10^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{3^{2}}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Etapa 3.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Etapa 3.2.1.5

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{100}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Etapa 3.2.1.6

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.2.1.6.1

Fatore $5$ de $100$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 (20)}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Etapa 3.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 \cdot 20}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Etapa 3.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Etapa 3.2.1.7

Multiplique $3 (- \frac{3}{10})$ .

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Etapa 3.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - 3 (\frac{3}{10}) - 7$

Etapa 3.2.1.7.2

Combine $- 3$ e $\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 3 \cdot 3}{10} - 7$

Etapa 3.2.1.7.3

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 9}{10} - 7$

Etapa 3.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9}{10} - 7$

Etapa 3.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $\frac{9}{10}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - (\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $\frac{9}{10}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} - 7$

Etapa 3.2.2.3

Escreva $- 7$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

Etapa 3.2.2.4

Multiplique $\frac{- 7}{1}$ por $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Etapa 3.2.2.5

Multiplique $\frac{- 7}{1}$ por $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Etapa 3.2.2.6

Reordene os fatores de $10 \cdot 2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 10} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Etapa 3.2.2.7

Multiplique $2$ por $10$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{20} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Etapa 3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 7 \cdot 20}{20}$

Etapa 3.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 7 \cdot 20}{20}$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $- 7$ por $20$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 140}{20}$

Etapa 3.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.5.1

Subtraia $18$ de $9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 9 - 140}{20}$

Etapa 3.2.5.2

Subtraia $140$ de $- 9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 149}{20}$

Etapa 3.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3}{10}) = - \frac{149}{20}$

Etapa 3.2.6

A resposta final é $- \frac{149}{20}$ .

$- \frac{149}{20}$

Etapa 4

Use os valores $x$ e $y$ para encontrar onde ocorre o mínimo.

$(- \frac{3}{10}, - \frac{149}{20})$

Etapa 5