Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ como uma equação.

$y = \ln (x + 2) + \ln (3)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \ln (y + 2) + \ln (3)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\ln (y + 2) + \ln (3) = x$ .

$\ln (y + 2) + \ln (3) = x$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((y + 2) \cdot 3) = x$

Etapa 3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (y \cdot 3 + 2 \cdot 3) = x$

Etapa 3.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$\ln (3 \cdot y + 2 \cdot 3) = x$

Etapa 3.2.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\ln (3 y + 6) = x$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (3 y + 6)} = e^{x}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (3 y + 6) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 3 y + 6$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $3 y + 6 = e^{x}$ .

$3 y + 6 = e^{x}$

Etapa 3.5.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$3 y = e^{x} - 6$

Etapa 3.5.3

Divida cada termo em $3 y = e^{x} - 6$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.5.3.1

Divida cada termo em $3 y = e^{x} - 6$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Etapa 3.5.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Etapa 3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.3.3.1

Divida $- 6$ por $3$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} - 2$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ é o inverso de $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln (x + 2) + \ln (3)}}{3} - 2$

Etapa 5.2.3

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln ((x + 2) \cdot 3)}}{3} - 2$

Etapa 5.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.4.1.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{(x + 2) \cdot 3}{3} - 2$

Etapa 5.2.4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{x \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3} - 2$

Etapa 5.2.4.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 2 \cdot 3}{3} - 2$

Etapa 5.2.4.1.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 6}{3} - 2$

Etapa 5.2.4.1.5

Fatore $3$ de $3 x + 6$ .

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Etapa 5.2.4.1.5.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x) + 6}{3} - 2$

Etapa 5.2.4.1.5.2

Fatore $3$ de $6$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 x + 3 \cdot 2}{3} - 2$

Etapa 5.2.4.1.5.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Etapa 5.2.4.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Etapa 5.2.4.2.2

Divida $x + 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 2 - 2$

Etapa 5.2.5

Combine os termos opostos em $x + 2 - 2$ .

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Etapa 5.2.5.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 0$

Etapa 5.2.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{e^{x}}{3} - 2)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$

Etapa 5.3.3

Combine os termos opostos em $\ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$ .

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Etapa 5.3.3.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} + 0) + \ln (3)$

Etapa 5.3.3.2

Some $\frac{e^{x}}{3}$ e $0$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3}) + \ln (3)$

Etapa 5.3.4

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

Etapa 5.3.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.5.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

Etapa 5.3.5.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (e^{x})$

Etapa 5.3.6

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \ln (e)$

Etapa 5.3.7

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \cdot 1$

Etapa 5.3.8

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ é o inverso de $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$