Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 3^{x + 1} - 2$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ como uma equação.

$y = 3^{x + 1} - 2$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 3^{y + 1} - 2$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $3^{y + 1} - 2 = x$ .

$3^{y + 1} - 2 = x$

Etapa 3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$3^{y + 1} = x + 2$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{y + 1}) = \ln (x + 2)$

Etapa 3.4

Expanda $\ln (3^{y + 1})$ movendo $y + 1$ para fora do logaritmo.

$(y + 1) \ln (3) = \ln (x + 2)$

Etapa 3.5

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.1

Simplifique $(y + 1) \ln (3)$ .

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Etapa 3.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (x + 2)$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $\ln (3)$ por $1$ .

$y \ln (3) + \ln (3) = \ln (x + 2)$

Etapa 3.6

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$y \ln (3) + \ln (3) - \ln (x + 2) = 0$

Etapa 3.7

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (3) + \ln (\frac{3}{x + 2}) = 0$

Etapa 3.8

Subtraia $\ln (\frac{3}{x + 2})$ dos dois lados da equação.

$y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$

Etapa 3.9

Divida cada termo em $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ por $\ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 3.9.1

Divida cada termo em $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ por $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Etapa 3.9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.9.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

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Etapa 3.9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Etapa 3.9.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Etapa 3.9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.9.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ é o inverso de $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (3^{x + 1} - 2)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{(3^{x + 1} - 2) + 2})}{\ln (3)}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.3.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1} + 0})}{\ln (3)}$

Etapa 5.2.3.2

Some $3^{x + 1}$ e $0$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1}})}{\ln (3)}$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{(- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) + 1} - 2$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)} + \frac{\ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

Etapa 5.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{\frac{- \ln (\frac{3}{x + 2}) + \ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ é o inverso de $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$