Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4 x}{x + 5}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{4 x}{x + 5}$ como uma equação.

$y = \frac{4 x}{x + 5}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{4 y}{y + 5}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{4 y}{y + 5} = x$ .

$\frac{4 y}{y + 5} = x$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y + 5, 1$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses.

$y + 5, 1$

Etapa 3.2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y + 5$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{4 y}{y + 5} = x$ por $y + 5$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{4 y}{y + 5} = x$ por $y + 5$ .

$\frac{4 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y + 5$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$4 y = x (y + 5)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y = x y + x \cdot 5$

Etapa 3.3.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$4 y = x y + 5 x$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Subtraia $x y$ dos dois lados da equação.

$4 y - x y = 5 x$

Etapa 3.4.2

Fatore $y$ de $4 y - x y$ .

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $y$ de $4 y$ .

$y \cdot 4 - x y = 5 x$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $y$ de $- x y$ .

$y \cdot 4 + y (- x) = 5 x$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $y$ de $y \cdot 4 + y (- x)$ .

$y (4 - x) = 5 x$

Etapa 3.4.3

Divida cada termo em $y (4 - x) = 5 x$ por $4 - x$ e simplifique.

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Etapa 3.4.3.1

Divida cada termo em $y (4 - x) = 5 x$ por $4 - x$ .

$\frac{y (4 - x)}{4 - x} = \frac{5 x}{4 - x}$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $4 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (4 - x)}{4 - x} = \frac{5 x}{4 - x}$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{5 x}{4 - x}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{4 - x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{4 - x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{4 x}{x + 5}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{5 (\frac{4 x}{x + 5})}{4 - (\frac{4 x}{x + 5})}$

Etapa 5.2.3

Combine $5$ e $\frac{4 x}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{4 - \frac{4 x}{x + 5}}$

Etapa 5.2.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.4.1

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (x + 5)}{x + 5} - \frac{4 x}{x + 5}}$

Etapa 5.2.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (x + 5) - 4 x}{x + 5}}$

Etapa 5.2.4.3

Reordene os termos.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{- 4 x + 4 (x + 5)}{x + 5}}$

Etapa 5.2.4.4

Reescreva $\frac{- 4 x + 4 (x + 5)}{x + 5}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.2.4.4.1

Fatore $4$ de $- 4 x + 4 (x + 5)$ .

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Etapa 5.2.4.4.1.1

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (- x) + 4 (x + 5)}{x + 5}}$

Etapa 5.2.4.4.1.2

Fatore $4$ de $4 (- x) + 4 (x + 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (- x + x + 5)}{x + 5}}$

Etapa 5.2.4.4.2

Some $- x$ e $x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (0 + 5)}{x + 5}}$

Etapa 5.2.4.4.3

Some $0$ e $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 \cdot 5}{x + 5}}$

Etapa 5.2.4.5

Multiplique $4$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{20}{x + 5}}$

Etapa 5.2.5

Multiplique $5$ por $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{20 x}{x + 5}}{\frac{20}{x + 5}}$

Etapa 5.2.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{20 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{20}$

Etapa 5.2.7

Cancele o fator comum de $20$ .

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Etapa 5.2.7.1

Fatore $20$ de $20 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{20 (x)}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{20}$

Etapa 5.2.7.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{20 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{20}$

Etapa 5.2.7.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Etapa 5.2.8

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

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Etapa 5.2.8.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Etapa 5.2.8.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{5 x}{4 - x})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{4 (\frac{5 x}{4 - x})}{(\frac{5 x}{4 - x}) + 5}$

Etapa 5.3.3

Combine $4$ e $\frac{5 x}{4 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 x}{4 - x} + 5}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.4.1

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 x}{4 - x} + \frac{5 (4 - x)}{4 - x}}$

Etapa 5.3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 x + 5 (4 - x)}{4 - x}}$

Etapa 5.3.4.3

Reordene os termos.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 x + 5 (4 - x)}{- x + 4}}$

Etapa 5.3.4.4

Reescreva $\frac{5 x + 5 (4 - x)}{- x + 4}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.3.4.4.1

Fatore $5$ de $5 x + 5 (4 - x)$ .

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Etapa 5.3.4.4.1.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 (x) + 5 (4 - x)}{- x + 4}}$

Etapa 5.3.4.4.1.2

Fatore $5$ de $5 (x) + 5 (4 - x)$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 (x + 4 - x)}{- x + 4}}$

Etapa 5.3.4.4.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 (0 + 4)}{- x + 4}}$

Etapa 5.3.4.4.3

Some $0$ e $4$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 \cdot 4}{- x + 4}}$

Etapa 5.3.4.5

Multiplique $5$ por $4$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{20}{- x + 4}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique $4$ por $5$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{20 x}{4 - x}}{\frac{20}{- x + 4}}$

Etapa 5.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{20 x}{4 - x} \cdot \frac{- x + 4}{20}$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $20$ .

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Etapa 5.3.7.1

Fatore $20$ de $20 x$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{20 (x)}{4 - x} \cdot \frac{- x + 4}{20}$

Etapa 5.3.7.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{20 x}{4 - x} \cdot \frac{- x + 4}{20}$

Etapa 5.3.7.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{x}{4 - x} \cdot (- x + 4)$

Etapa 5.3.8

Multiplique $\frac{x}{4 - x}$ por $- x + 4$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{x (- x + 4)}{4 - x}$

Etapa 5.3.9

Cancele o fator comum de $- x + 4$ e $4 - x$ .

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Etapa 5.3.9.1

Reordene os termos.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{x (- x + 4)}{- x + 4}$

Etapa 5.3.9.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{x (- x + 4)}{- x + 4}$

Etapa 5.3.9.3

Divida $x$ por $1$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{4 - x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{4 x}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{4 - x}$