Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = e^{x + 4}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = e^{x + 4}$ como uma equação.

$y = e^{x + 4}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = e^{y + 4}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $e^{y + 4} = x$ .

$e^{y + 4} = x$

Etapa 3.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y + 4}) = \ln (x)$

Etapa 3.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Expanda $\ln (e^{y + 4})$ movendo $y + 4$ para fora do logaritmo.

$(y + 4) \ln (e) = \ln (x)$

Etapa 3.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(y + 4) \cdot 1 = \ln (x)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $y + 4$ por $1$ .

$y + 4 = \ln (x)$

Etapa 3.4

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$y = \ln (x) - 4$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$ é o inverso de $f (x) = e^{x + 4}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (e^{x + 4})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = \ln (e^{x + 4}) - 4$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Use as regras logarítmicas para mover $x + 4$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = (x + 4) \ln (e) - 4$

Etapa 5.2.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = (x + 4) \cdot 1 - 4$

Etapa 5.2.3.3

Multiplique $x + 4$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x + 4 - 4$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x + 4 - 4$ .

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Etapa 5.2.4.1

Subtraia $4$ de $4$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\ln (x) - 4)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\ln (x) - 4) = e^{(\ln (x) - 4) + 4}$

Etapa 5.3.3

Combine os termos opostos em $(\ln (x) - 4) + 4$ .

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Etapa 5.3.3.1

Some $- 4$ e $4$ .

$f (\ln (x) - 4) = e^{\ln (x) + 0}$

Etapa 5.3.3.2

Some $\ln (x)$ e $0$ .

$f (\ln (x) - 4) = e^{\ln (x)}$

Etapa 5.3.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (x) - 4) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$ é o inverso de $f (x) = e^{x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$