Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = - \sqrt{x + 1}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ como uma equação.

$y = - \sqrt{x + 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = - \sqrt{y + 1}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $- \sqrt{y + 1} = x$ .

$- \sqrt{y + 1} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $- \sqrt{y + 1} = x$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $- \sqrt{y + 1} = x$ por $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{y + 1}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sqrt{y + 1}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Etapa 3.2.2.2

Divida $\sqrt{y + 1}$ por $1$ .

$\sqrt{y + 1} = \frac{x}{- 1}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{y + 1} = - 1 \cdot x$

Etapa 3.2.3.2

Reescreva $- 1 \cdot x$ como $- x$ .

$\sqrt{y + 1} = - x$

Etapa 3.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y + 1}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y + 1}$ como ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y + 1)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Simplifique.

$y + 1 = {(- x)}^{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Simplifique ${(- x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$y + 1 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Etapa 3.4.3.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y + 1 = 1 x^{2}$

Etapa 3.4.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y + 1 = x^{2}$

Etapa 3.5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = x^{2} - 1$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ é o inverso de $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (- \sqrt{x + 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- \sqrt{x + 1})}^{2} - 1$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Etapa 5.2.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = 1 {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Etapa 5.2.3.3

Multiplique ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Etapa 5.2.3.4

Reescreva ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ como $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1$

Etapa 5.2.3.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1$

Etapa 5.2.3.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Etapa 5.2.3.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Etapa 5.2.3.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = (x + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.4.5

Simplifique.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 1 - 1$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x + 1 - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (x^{2} - 1)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{(x^{2} - 1) + 1}$

Etapa 5.3.3

Some $- 1$ e $1$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2} + 0}$

Etapa 5.3.4

Some $x^{2}$ e $0$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2}}$

Etapa 5.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (x^{2} - 1) = - x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ é o inverso de $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$