Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ como uma equação.

$y = \frac{6 x}{3 x - 5}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{6 y}{3 y - 5}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique a equação por $3 y - 5$ .

$(3 y - 5) (x) = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y x - 5 x = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $3 y - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$3 y x - 5 x = \frac{6 y}{3 y - 5} (3 y - 5)$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$3 y x - 5 x = 6 y$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $6 y$ dos dois lados da equação.

$3 y x - 5 x - 6 y = 0$

Etapa 3.4.2

Some $5 x$ aos dois lados da equação.

$3 y x - 6 y = 5 x$

Etapa 3.4.3

Fatore $3 y$ de $3 y x - 6 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $3 y$ de $3 y x$ .

$3 y (x) - 6 y = 5 x$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $3 y$ de $- 6 y$ .

$3 y (x) + 3 y (- 2) = 5 x$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $3 y$ de $3 y (x) + 3 y (- 2)$ .

$3 y (x - 2) = 5 x$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $3 y (x - 2) = 5 x$ por $3 (x - 2)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $3 y (x - 2) = 5 x$ por $3 (x - 2)$ .

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Etapa 3.4.4.2.2

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Etapa 3.4.4.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ é o inverso de $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{5 (\frac{6 x}{3 x - 5})}{3 ((\frac{6 x}{3 x - 5}) - 2)}$

Etapa 5.2.3

Combine $5$ e $\frac{6 x}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2)}$

Etapa 5.2.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2 \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5})}$

Etapa 5.2.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} + \frac{- 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Etapa 5.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Etapa 5.2.4.4

Reescreva $\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.4.1

Fatore $2$ de $6 x - 2 (3 x - 5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.4.1.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Etapa 5.2.4.4.1.2

Fatore $2$ de $- 2 (3 x - 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

Etapa 5.2.4.4.1.3

Fatore $2$ de $2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

Etapa 5.2.4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x) + 5)}{3 x - 5})}$

Etapa 5.2.4.4.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

Etapa 5.2.4.4.4

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

Etapa 5.2.4.4.5

Subtraia $3 x$ de $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (0 + 5)}{3 x - 5})}$

Etapa 5.2.4.4.6

Some $0$ e $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 \cdot 5}{3 x - 5})}$

Etapa 5.2.4.5

Multiplique $2$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

Etapa 5.2.5

Multiplique $5$ por $6$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

Etapa 5.2.6

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Combine $3$ e $\frac{10}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{3 \cdot 10}{3 x - 5}}$

Etapa 5.2.6.2

Multiplique $3$ por $10$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{30}{3 x - 5}}$

Etapa 5.2.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Etapa 5.2.8

Cancele o fator comum de $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.1

Fatore $30$ de $30 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 (x)}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Etapa 5.2.8.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Etapa 5.2.8.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

Etapa 5.2.9

Cancele o fator comum de $3 x - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

Etapa 5.2.9.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{5 x}{3 (x - 2)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{6 (\frac{5 x}{3 (x - 2)})}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Etapa 5.3.3

Combine $6$ e $\frac{5 x}{3 (x - 2)}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Etapa 5.3.4.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5}$

Etapa 5.3.4.2

Para escrever $- 5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Etapa 5.3.4.3

Combine $- 5$ e $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} + \frac{- 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Etapa 5.3.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Etapa 5.3.4.5

Reescreva $\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.5.1

Fatore $5$ de $5 x - 5 (x - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.5.1.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Etapa 5.3.4.5.1.2

Fatore $5$ de $- 5 (x - 2)$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) + 5 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Etapa 5.3.4.5.1.3

Fatore $5$ de $5 (x) + 5 (- (x - 2))$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Etapa 5.3.4.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Etapa 5.3.4.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Etapa 5.3.4.5.4

Subtraia $x$ de $x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (0 + 2)}{x - 2}}$

Etapa 5.3.4.5.5

Some $0$ e $2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 \cdot 2}{x - 2}}$

Etapa 5.3.4.6

Multiplique $5$ por $2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique $6$ por $5$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{30 x}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Etapa 5.3.6

Reduza a expressão $\frac{30 x}{3 (x - 2)}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Fatore $3$ de $30 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Etapa 5.3.6.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Etapa 5.3.6.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10 x}{x - 2}}{\frac{10}{x - 2}}$

Etapa 5.3.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Etapa 5.3.8

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Fatore $10$ de $10 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Etapa 5.3.8.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Etapa 5.3.8.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Etapa 5.3.9

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Etapa 5.3.9.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ é o inverso de $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$