Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$ como uma equação.

$y = \frac{6}{\sqrt{x}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{6}{\sqrt{y}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{6}{\sqrt{y}} = x$ .

$\frac{6}{\sqrt{y}} = x$

Etapa 3.2

Calcule a regra de três.

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Etapa 3.2.1

Calcule a regra de três definindo o produto do numerador do lado direito e o denominador do lado esquerdo como igual ao produto do numerador do lado esquerdo e o denominador do lado direito.

$x \cdot (\sqrt{y}) = 6$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $x$ por $\sqrt{y}$ .

$x \sqrt{y} = 6$

Etapa 3.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(x \sqrt{y})}^{2} = 6^{2}$

Etapa 3.4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(x y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${(x y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $x y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.4.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} y^{1} = 6^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3

Simplifique.

$x^{2} y = 6^{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$x^{2} y = 36$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $x^{2} y = 36$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $x^{2} y = 36$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{36}{x^{2}}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$ é o inverso de $f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{{(\frac{6}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{6}{\sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{6^{2}}{{\sqrt{x}}^{2}}}$

Etapa 5.2.3.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{{\sqrt{x}}^{2}}}$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 5.2.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Etapa 5.2.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Etapa 5.2.3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x^{\frac{2}{2}}}}$

Etapa 5.2.3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x^{\frac{2}{2}}}}$

Etapa 5.2.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x}}$

Etapa 5.2.3.3.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x}}$

Etapa 5.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = 36 (\frac{x}{36})$

Etapa 5.2.5

Cancele o fator comum de $36$ .

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Etapa 5.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = 36 (\frac{x}{36})$

Etapa 5.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{36}{x^{2}})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.3

Remova os parênteses.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.4.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.4.2

Reescreva $\frac{6^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{6}{x})}^{2}$ .

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}}$

Etapa 5.3.4.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\frac{6}{x}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = 6 (\frac{x}{6})$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.3.6.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = 6 (\frac{x}{6})$

Etapa 5.3.6.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$ é o inverso de $f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$