Pré-cálculo Exemplos

$\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2} - 5 x}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt[4]{x^{2} - 5 x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} - 5 x \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - 5 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $x$ de $x^{2} - 5 x$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 5 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $x$ de $- 5 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$x (x - 5) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 5$

Etapa 2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

${(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 \geq 0$

Etapa 2.8.1.3

O lado esquerdo $14$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.8.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 2.8.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

${(2)}^{2} - 5 \cdot 2 \geq 0$

Etapa 2.8.2.3

O lado esquerdo $- 6$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 2.8.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

${(8)}^{2} - 5 \cdot 8 \geq 0$

Etapa 2.8.3.3

O lado esquerdo $24$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadeiro

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadeiro

Etapa 2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq 0$ ou $x \geq 5$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2} - 5 x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[4]{x^{2} - 5 x} = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $4$ ª potência.

${\sqrt[4]{x^{2} - 5 x}}^{4} = 0^{4}$

Etapa 4.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x^{2} - 5 x}$ como ${(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique ${({(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Etapa 4.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x^{2} - 5 x)}^{1} = 0^{4}$

Etapa 4.2.2.1.2

Simplifique.

$x^{2} - 5 x = 0^{4}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{2} - 5 x = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $x$ de $x^{2} - 5 x$ .

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Etapa 4.3.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 5 x = 0$

Etapa 4.3.1.2

Fatore $x$ de $- 5 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 0$

Etapa 4.3.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$x (x - 5) = 0$

Etapa 4.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 4.3.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.3.4

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.4.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 4.3.4.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 4.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 5$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (5, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x < 0, x > 5}$

Etapa 6