Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$

Etapa 1

Defina $2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$ como igual a $0$ .

$2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$- x^{3} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- x$ de $- x^{3} - 25 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $- x$ de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $- x$ de $- 25 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 25 + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- x$ de $- x (x^{2}) - x (25)$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 {(x^{2})}^{2} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2.1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 u - 25 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ e cuja soma é $b = 49$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1.1

Fatore $49$ de $49 u$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 (u) - 25 = 0$

Etapa 2.1.5.1.2

Reescreva $49$ como $- 1$ mais $50$

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + (- 1 + 50) u - 25 = 0$

Etapa 2.1.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Etapa 2.1.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Etapa 2.1.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- x (x^{2} + 25) + u (2 u - 1) + 25 (2 u - 1) = 0$

Etapa 2.1.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 u - 1) (u + 25) = 0$

Etapa 2.1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $x^{2} + 25$ de $- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Fatore $x^{2} + 25$ de $- x (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore $x^{2} + 25$ de $(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.1.7.3

Fatore $x^{2} + 25$ de $(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} + 25) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.1.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} + 25) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.1.9

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.1

Reordene os termos.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Etapa 2.1.9.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.2.1

Fatore $- 1$ de $- u$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Etapa 2.1.9.2.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Etapa 2.1.9.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Etapa 2.1.9.2.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Etapa 2.1.9.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{2} + 25) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

Etapa 2.1.9.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x^{2} + 25) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Etapa 2.1.9.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u + 1$ .

$(x^{2} + 25) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Etapa 2.1.10

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} + 25) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{2} + 25$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina $x^{2} + 25$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{2} + 25 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 25$

Etapa 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Reescreva $- 25$ como $- 1 (25)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

Etapa 2.3.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (25)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

Etapa 2.3.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

Etapa 2.3.2.3.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

Etapa 2.3.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 5$

Etapa 2.3.2.3.6

Mova $5$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 5 i$

Etapa 2.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5 i$

Etapa 2.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5 i$

Etapa 2.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5 i, - 5 i$

Etapa 2.4

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 5 i, - 5 i, - \frac{1}{2}, 1$

Etapa 3