Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16$

Etapa 1

Defina $x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16$ como igual a $0$ .

$x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$x^{4} - 16 - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 16 - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 4^{2} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Etapa 2.1.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 4$ .

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 4) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Etapa 2.1.5.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Etapa 2.1.5.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Etapa 2.1.6

Fatore $2 x$ de $- 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Fatore $2 x$ de $- 2 x^{3}$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Etapa 2.1.6.2

Fatore $2 x$ de $- 6 x^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x) - 4 x = 0$

Etapa 2.1.6.3

Fatore $2 x$ de $- 4 x$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x (- 2) = 0$

Etapa 2.1.6.4

Fatore $2 x$ de $2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x)$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x) + 2 x (- 2) = 0$

Etapa 2.1.6.5

Fatore $2 x$ de $2 x (- x^{2} - 3 x) + 2 x (- 2)$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 2 = 2$ e cuja soma é $b = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Etapa 2.1.7.1.1.2

Reescreva $- 3$ como $- 1$ mais $- 2$

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} + (- 1 - 2) x - 2) = 0$

Etapa 2.1.7.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 1 x - 2 x - 2) = 0$

Etapa 2.1.7.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.7.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x ((- x^{2} - 1 x) - 2 x - 2) = 0$

Etapa 2.1.7.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (x (- x - 1) + 2 (- x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.7.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 1$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x ((- x - 1) (x + 2)) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x - 1) (x + 2) = 0$

Etapa 2.1.8

Fatore $x + 2$ de $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x - 1) (x + 2)$ .

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Etapa 2.1.8.1

Fatore $x + 2$ de $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + 2 x (- x - 1) (x + 2) = 0$

Etapa 2.1.8.2

Fatore $x + 2$ de $2 x (- x - 1) (x + 2)$ .

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + (x + 2) (2 x (- x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.8.3

Fatore $x + 2$ de $(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + (x + 2) (2 x (- x - 1))$ .

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.9

Expanda $(x^{2} + 4) (x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 2) (x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.10

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.10.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 2) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.10.1.2

Some $2$ e $1$ .

$(x + 2) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.10.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.10.3

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.11

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1) = 0$

Etapa 2.1.12

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1) = 0$

Etapa 2.1.13

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x \cdot x) - 2 x) = 0$

Etapa 2.1.14

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.14.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.14.1.1

Mova $x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - 2 x) = 0$

Etapa 2.1.14.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x^{2}) - 2 x) = 0$

Etapa 2.1.14.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 - 2 x^{2} - 2 x) = 0$

Etapa 2.1.15

Subtraia $2 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 8 - 2 x) = 0$

Etapa 2.1.16

Subtraia $2 x$ de $4 x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8) = 0$

Etapa 2.1.17

Fatore.

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Etapa 2.1.17.1

Reescreva $x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.1.17.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.17.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 2) ((x^{3} - 4 x^{2}) + 2 x - 8) = 0$

Etapa 2.1.17.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 2) (x^{2} (x - 4) + 2 (x - 4)) = 0$

Etapa 2.1.17.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 4$ .

$(x + 2) ((x - 4) (x^{2} + 2)) = 0$

Etapa 2.1.17.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x - 4) (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 2$

Etapa 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Etapa 2.5.2.3.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 2.5.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 2.5.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 2.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{2}$

Etapa 2.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{2}$

Etapa 2.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x - 4) (x^{2} + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 4, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 3