Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 7 x^{2} + 25 x - 39$

Etapa 1

Defina $x^{3} - 7 x^{2} + 25 x - 39$ como igual a $0$ .

$x^{3} - 7 x^{2} + 25 x - 39 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x^{3} - 7 x^{2} + 25 x - 39$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

Etapa 2.1.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$3^{3} - 7 \cdot 3^{2} + 25 \cdot 3 - 39$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 - 7 \cdot 3^{2} + 25 \cdot 3 - 39$

Etapa 2.1.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$27 - 7 \cdot 9 + 25 \cdot 3 - 39$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $- 7$ por $9$ .

$27 - 63 + 25 \cdot 3 - 39$

Etapa 2.1.3.5

Subtraia $63$ de $27$ .

$- 36 + 25 \cdot 3 - 39$

Etapa 2.1.3.6

Multiplique $25$ por $3$ .

$- 36 + 75 - 39$

Etapa 2.1.3.7

Some $- 36$ e $75$ .

$39 - 39$

Etapa 2.1.3.8

Subtraia $39$ de $39$ .

$0$

Etapa 2.1.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 25 x - 39}{x - 3}$

Etapa 2.1.5

Divida $x^{3} - 7 x^{2} + 25 x - 39$ por $x - 3$ .

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Etapa 2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$25 x$

$39$

Etapa 2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$

Etapa 2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Etapa 2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$

Etapa 2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$

Etapa 2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Etapa 2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x^{2} + 12 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$

Etapa 2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$13 x$

Etapa 2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$13 x$	-	$39$

Etapa 2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $13 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$13 x$	-	$39$

Etapa 2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$13 x$	-	$39$
							+	$13 x$	-	$39$

Etapa 2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $13 x - 39$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$13 x$	-	$39$
							-	$13 x$	+	$39$

Etapa 2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$13 x$	-	$39$
							-	$13 x$	+	$39$
										$0$

Etapa 2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 4 x + 13$

Etapa 2.1.6

Escreva $x^{3} - 7 x^{2} + 25 x - 39$ como um conjunto de fatores.

$(x - 3) (x^{2} - 4 x + 13) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 4 x + 13 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.4

Defina $x^{2} - 4 x + 13$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2} - 4 x + 13$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 4 x + 13 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} - 4 x + 13 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = 13$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.2.3.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Etapa 2.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $13$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.3

Subtraia $52$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.4

Reescreva $- 36$ como $- 1 (36)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (36)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.7

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.9

Mova $6$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 6 i}{2}$

Etapa 2.4.2.3.3

Simplifique $\frac{4 \pm 6 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 3 i$

Etapa 2.4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 2 + 3 i, 2 - 3 i$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x^{2} - 4 x + 13) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, 2 + 3 i, 2 - 3 i$

Etapa 3