Pré-cálculo Exemplos

$2 x^{4} + 3 x^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$ , $x^{2} + y^{2} = 1$

Etapa 1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = 1 - y^{2}$

Etapa 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1 - y^{2}}$

Etapa 3

Simplifique $\pm \sqrt{1 - y^{2}}$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{1^{2} - y^{2}}$

Etapa 3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Etapa 4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Etapa 4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Etapa 4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Etapa 5

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ na expressão.

$2 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Reescreva ${\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{4}$ como ${((1 + y) (1 - y))}^{2}$ .

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Etapa 6.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ como ${((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {({((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{4}{2}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 6.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{1}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.2

Expanda $(1 + y) (1 - y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 {(1 (1 - y) + y (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 {(1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 {(1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$2 {(1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique $- y$ por $1$ .

$2 {(1 - y + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.3.1.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 {(1 - y + y + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 {(1 - y + y - y \cdot y)}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.3.1.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1.5.1

Mova $y$ .

$2 {(1 - y + y - (y \cdot y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.3.1.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$2 {(1 - y + y - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.3.2

Some $- y$ e $y$ .

$2 {(1 + 0 - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.3.3

Some $1$ e $0$ .

$2 {(1 - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.4

Reescreva ${(1 - y^{2})}^{2}$ como $(1 - y^{2}) (1 - y^{2})$ .

$2 ((1 - y^{2}) (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.5

Expanda $(1 - y^{2}) (1 - y^{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (1 (1 - y^{2}) - y^{2} (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (1 \cdot 1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (1 \cdot 1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.6.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$2 (1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.6.1.2

Multiplique $- y^{2}$ por $1$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.6.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.6.1.5

Multiplique $y^{2}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.6.1.5.1

Mova $y^{2}$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{2} y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.6.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2 + 2}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.6.1.5.3

Some $2$ e $2$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.6.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} + 1 y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.6.1.7

Multiplique $y^{4}$ por $1$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} + y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.6.2

Subtraia $y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$2 (1 - 2 y^{2} + y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.7

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 y^{2}) + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.8

Simplifique.

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Etapa 6.8.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2 (- 2 y^{2}) + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.8.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.9

Reescreva ${\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{2}$ como $(1 + y) (1 - y)$ .

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Etapa 6.9.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ como ${((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {({((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.9.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.9.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{2}} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.9.4.1

Cancele o fator comum.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{2}} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.9.4.2

Reescreva a expressão.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{1} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.9.5

Simplifique.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 ((1 + y) (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.10

Expanda $(1 + y) (1 - y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 (1 - y) + y (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.11.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.11.1.2

Multiplique $- y$ por $1$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.11.1.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.11.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - y \cdot y) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.11.1.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 6.11.1.5.1

Mova $y$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - (y \cdot y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.11.1.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.11.2

Some $- y$ e $y$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 + 0 - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.11.3

Some $1$ e $0$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.12

Aplique a propriedade distributiva.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 \cdot 1 + 3 (- y^{2})) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.13

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 + 3 (- y^{2})) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.14

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 - 3 y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.15

Aplique a propriedade distributiva.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.16

Multiplique $y^{2}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.16.1

Mova $y^{2}$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 (y^{2} y^{2}) + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.16.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{2 + 2} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 6.16.3

Some $2$ e $2$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 7

Simplifique somando os termos.

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Etapa 7.1

Some $- 4 y^{2}$ e $3 y^{2}$ .

$2 + 2 y^{4} - y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$

Etapa 7.2

Combine os termos opostos em $2 + 2 y^{4} - y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$ .

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Etapa 7.2.1

Some $- y^{2}$ e $y^{2}$ .

$2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4} + 0$

Etapa 7.2.2

Some $2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4}$ e $0$ .

$2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4}$

Etapa 7.3

Subtraia $3 y^{4}$ de $2 y^{4}$ .

$2 - y^{4} + y^{4}$

Etapa 7.4

Combine os termos opostos em $2 - y^{4} + y^{4}$ .

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Etapa 7.4.1

Some $- y^{4}$ e $y^{4}$ .

$2 + 0$

Etapa 7.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$