Pré-cálculo Exemplos

$3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

$- 10 x^{3} + 40 x + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Etapa 2

Fatore $- 10 x$ de $- 10 x^{3} + 40 x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $- 10 x$ de $- 10 x^{3}$ .

$- 10 x (x^{2}) + 40 x + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Etapa 2.2

Fatore $- 10 x$ de $40 x$ .

$- 10 x (x^{2}) - 10 x (- 4) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Etapa 2.3

Fatore $- 10 x$ de $- 10 x (x^{2}) - 10 x (- 4)$ .

$- 10 x (x^{2} - 4) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Etapa 3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- 10 x (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Etapa 4

Fatore.

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Etapa 4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$- 10 x ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Etapa 4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Etapa 5

Fatore $3$ de $3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$ .

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Etapa 5.1

Fatore $3$ de $3 x^{4}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4}) - 9 x^{2} - 12$

Etapa 5.2

Fatore $3$ de $- 9 x^{2}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4}) + 3 (- 3 x^{2}) - 12$

Etapa 5.3

Fatore $3$ de $- 12$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} + 3 (- 3 x^{2}) + 3 \cdot - 4$

Etapa 5.4

Fatore $3$ de $3 x^{4} + 3 (- 3 x^{2})$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4} - 3 x^{2}) + 3 \cdot - 4$

Etapa 5.5

Fatore $3$ de $3 (x^{4} - 3 x^{2}) + 3 \cdot - 4$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4} - 3 x^{2} - 4)$

Etapa 6

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4)$

Etapa 7

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (u^{2} - 3 u - 4)$

Etapa 8

Fatore $u^{2} - 3 u - 4$ usando o método AC.

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Etapa 8.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 4, 1$

Etapa 8.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((u - 4) (u + 1))$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1))$

Etapa 10

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1))$

Etapa 11

Fatore.

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Etapa 11.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1))$

Etapa 11.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$

Etapa 12

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

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Etapa 12.1

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $- 10 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x) + 3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$

Etapa 12.2

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x) + (x + 2) (x - 2) ((3) (x^{2} + 1))$

Etapa 12.3

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) (- 10 x) + (x + 2) (x - 2) ((3) (x^{2} + 1))$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x + (3) (x^{2} + 1))$

Etapa 13

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x + 3 x^{2} + 3 \cdot 1)$

Etapa 14

Multiplique $3$ por $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x + 3 x^{2} + 3)$

Etapa 15

Reordene os termos.

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 10 x + 3)$

Etapa 16

Fatore.

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Etapa 16.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 16.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ e cuja soma é $b = - 10$ .

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Etapa 16.1.1.1

Fatore $- 10$ de $- 10 x$ .

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 10 (x) + 3)$

Etapa 16.1.1.2

Reescreva $- 10$ como $- 1$ mais $- 9$

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3)$

Etapa 16.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3)$

Etapa 16.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 16.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 2) (x - 2) ((3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3)$

Etapa 16.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 2) (x - 2) (x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1))$

Etapa 16.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 x - 1) (x - 3))$

Etapa 16.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x - 2) (3 x - 1) (x - 3)$