Pré-cálculo Exemplos

$3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$

Etapa 1

Fatore $3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 16, \pm 5.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Etapa 1.3

Substitua $- 2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $- 2$ no polinômio.

$3 {(- 2)}^{3} + 16 {(- 2)}^{2} + 28 \cdot - 2 + 16$

Etapa 1.3.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$3 \cdot - 8 + 16 {(- 2)}^{2} + 28 \cdot - 2 + 16$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$- 24 + 16 {(- 2)}^{2} + 28 \cdot - 2 + 16$

Etapa 1.3.4

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 24 + 16 \cdot 4 + 28 \cdot - 2 + 16$

Etapa 1.3.5

Multiplique $16$ por $4$ .

$- 24 + 64 + 28 \cdot - 2 + 16$

Etapa 1.3.6

Some $- 24$ e $64$ .

$40 + 28 \cdot - 2 + 16$

Etapa 1.3.7

Multiplique $28$ por $- 2$ .

$40 - 56 + 16$

Etapa 1.3.8

Subtraia $56$ de $40$ .

$- 16 + 16$

Etapa 1.3.9

Some $- 16$ e $16$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16}{x + 2}$

Etapa 1.5

Divida $3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$ por $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{3}$

$16 x^{2}$

$28 x$

$16$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			+	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{3} + 6 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $10 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$20 x$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $10 x^{2} + 20 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $8 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$
							+	$8 x$	+	$16$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $8 x + 16$ .

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$
							-	$8 x$	-	$16$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$
							-	$8 x$	-	$16$
										$0$

Etapa 1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$3 x^{2} + 10 x + 8$

Etapa 1.6

Escreva $3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$ como um conjunto de fatores.

$(x + 2) (3 x^{2} + 10 x + 8)$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ e cuja soma é $b = 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Fatore $10$ de $10 x$ .

$(x + 2) (3 x^{2} + 10 (x) + 8)$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva $10$ como $4$ mais $6$

$(x + 2) (3 x^{2} + (4 + 6) x + 8)$

Etapa 2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 2) (3 x^{2} + 4 x + 6 x + 8)$

Etapa 2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 2) ((3 x^{2} + 4 x) + 6 x + 8)$

Etapa 2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 2) (x (3 x + 4) + 2 (3 x + 4))$

Etapa 2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 4$ .

$(x + 2) ((3 x + 4) (x + 2))$

Etapa 2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (3 x + 4) (x + 2)$