Pré-cálculo Exemplos

$4 x^{4} - 5 x^{2} + 1$

Etapa 1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 1$

Etapa 2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$4 u^{2} - 5 u + 1$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ e cuja soma é $b = - 5$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 u$ .

$4 u^{2} - 5 (u) + 1$

Etapa 3.1.2

Reescreva $- 5$ como $- 1$ mais $- 4$

$4 u^{2} + (- 1 - 4) u + 1$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 u^{2} - 1 u - 4 u + 1$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 u^{2} - 1 u) - 4 u + 1$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (4 u - 1) - (4 u - 1)$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 1)$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$

Etapa 5

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} - 1)$

Etapa 6

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} - 1)$

Etapa 7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 1)$

Etapa 8

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 1^{2})$

Etapa 9

Fatore.

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Etapa 9.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x + 1) (x - 1)$