Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} - 3 x^{2} - 25 x + 75$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(3)}^{3} - 3 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 + 75$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 3$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 - 3 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 + 75$

Etapa 4.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$27 - 3 \cdot 9 - 25 \cdot 3 + 75$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 3$ por $9$ .

$27 - 27 - 25 \cdot 3 + 75$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 25$ por $3$ .

$27 - 27 - 75 + 75$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $27$ de $27$ .

$0 - 75 + 75$

Etapa 4.2.2

Subtraia $75$ de $0$ .

$- 75 + 75$

Etapa 4.2.3

Some $- 75$ e $75$ .

$0$

Etapa 5

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 25 x + 75}{x - 3}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(3)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 3)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$
	$1$	$0$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 25)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$
	$1$	$0$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 25)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(- 75)$ sob o próximo termo no dividendo $(75)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$1$	$0$	$- 25$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{2} + 0 x - 25$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{2} - 25$

Etapa 7

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$(x - 3) x^{2} - 5^{2}$

Etapa 8

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$(x - 3) (x + 5) (x - 5)$

Etapa 9

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 9.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{3} - 3 x^{2}) - 25 x + 75 = 0$

Etapa 9.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (x - 3) - 25 (x - 3) = 0$

Etapa 9.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{2} - 25) = 0$

Etapa 9.3

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$(x - 3) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Etapa 9.4

Fatore.

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Etapa 9.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$(x - 3) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Etapa 9.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 11

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 11.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 12

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 12.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 13

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 13.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 5, 5$

Etapa 15