Pré-cálculo Exemplos

$x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{2} - 12 x + 12$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(1)}^{5} - {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 1 \cdot 1 - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 - 1 - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Etapa 4.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 1 - 1 \cdot 1 + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 - 1 - 1 + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Etapa 4.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 \cdot 1 + 12$

Etapa 4.1.7

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 + 12$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$0 - 1 + 1 - 12 + 12$

Etapa 4.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1 + 1 - 12 + 12$

Etapa 4.2.3

Some $- 1$ e $1$ .

$0 - 12 + 12$

Etapa 4.2.4

Subtraia $12$ de $0$ .

$- 12 + 12$

Etapa 4.2.5

Some $- 12$ e $12$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{2} - 12 x + 12}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$
	$1$	$0$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$
	$1$	$0$	$- 1$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$

Etapa 6.11

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 12)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 12)$ sob o próximo termo no dividendo $(12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$

Etapa 6.12

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$	$0$

Etapa 6.13

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{4} + 0 x^{3} - 1 x^{2} + 0 x - 12$

Etapa 6.14

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{4} - x^{2} - 12$

Etapa 7

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x - 1) {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12$

Etapa 8

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$(x - 1) u^{2} - u - 12$

Etapa 9

Fatore $u^{2} - u - 12$ usando o método AC.

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Etapa 9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 4, 3$

Etapa 9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 1) + (u - 4) (u + 3)$

$(x - 1) (u - 4) (u + 3)$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} - 4) (x^{2} + 3)$

Etapa 11

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)$

Etapa 12

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 1) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)$

Etapa 13

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 13.1

Reagrupe os termos.

$x^{5} - x^{3} - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Etapa 13.2

Fatore $x$ de $x^{5} - x^{3} - 12 x$ .

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Etapa 13.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Etapa 13.2.2

Fatore $x$ de $- x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Etapa 13.2.3

Fatore $x$ de $- 12 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 12 - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Etapa 13.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12 - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Etapa 13.2.5

Fatore $x$ de $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12$ .

$x (x^{4} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Etapa 13.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Etapa 13.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (u^{2} - u - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Etapa 13.5

Fatore $u^{2} - u - 12$ usando o método AC.

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Etapa 13.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 4, 3$

Etapa 13.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x ((u - 4) (u + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Etapa 13.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Etapa 13.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Etapa 13.8

Fatore.

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Etapa 13.8.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Etapa 13.8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Etapa 13.9

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - {(x^{2})}^{2} + x^{2} + 12 = 0$

Etapa 13.10

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + u + 12 = 0$

Etapa 13.11

Fatore por agrupamento.

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Etapa 13.11.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 13.11.1.1

Multiplique por $1$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + 1 u + 12 = 0$

Etapa 13.11.1.2

Reescreva $1$ como $- 3$ mais $4$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + (- 3 + 4) u + 12 = 0$

Etapa 13.11.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

Etapa 13.11.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 13.11.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

Etapa 13.11.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + u (- u - 3) - 4 (- u - 3) = 0$

Etapa 13.11.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u - 3$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- u - 3) (u - 4) = 0$

Etapa 13.12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 13.13

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 13.14

Fatore.

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Etapa 13.14.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 13.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 13.15

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2)$ .

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Etapa 13.15.1

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 13.15.2

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $(- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 3) = 0$

Etapa 13.15.3

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 3)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3) - x^{2} - 3) = 0$

Etapa 13.16

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Etapa 13.17

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.17.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 13.17.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Etapa 13.17.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Etapa 13.17.2

Some $1$ e $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Etapa 13.18

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + 3 x - x^{2} - 3) = 0$

Etapa 13.19

Reordene os termos.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - x^{2} + 3 x - 3) = 0$

Etapa 13.20

Fatore.

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Etapa 13.20.1

Reescreva $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ em uma forma fatorada.

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Etapa 13.20.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 13.20.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - x^{2}) + 3 x - 3) = 0$

Etapa 13.20.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1)) = 0$

Etapa 13.20.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Etapa 13.20.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

Etapa 14

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Etapa 15

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 15.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 15.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 16

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 16.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 16.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 17

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 17.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 17.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 18

Defina $x^{2} + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 18.1

Defina $x^{2} + 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Etapa 18.2

Resolva $x^{2} + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 18.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 3$

Etapa 18.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Etapa 18.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Etapa 18.2.3.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Etapa 18.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Etapa 18.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Etapa 18.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 18.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{3}$

Etapa 18.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{3}$

Etapa 18.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 19

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2, 1, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 20