Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} - 4 x^{3} - 20 x^{2} - 9 x + 14$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(- 2)}^{4} - 4 {(- 2)}^{3} - 20 {(- 2)}^{2} - 9 \cdot - 2 + 14$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 2$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$16 - 4 {(- 2)}^{3} - 20 {(- 2)}^{2} - 9 \cdot - 2 + 14$

Etapa 4.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$16 - 4 \cdot - 8 - 20 {(- 2)}^{2} - 9 \cdot - 2 + 14$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$16 + 32 - 20 {(- 2)}^{2} - 9 \cdot - 2 + 14$

Etapa 4.1.4

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$16 + 32 - 20 \cdot 4 - 9 \cdot - 2 + 14$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 20$ por $4$ .

$16 + 32 - 80 - 9 \cdot - 2 + 14$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 9$ por $- 2$ .

$16 + 32 - 80 + 18 + 14$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $16$ e $32$ .

$48 - 80 + 18 + 14$

Etapa 4.2.2

Subtraia $80$ de $48$ .

$- 32 + 18 + 14$

Etapa 4.2.3

Some $- 32$ e $18$ .

$- 14 + 14$

Etapa 4.2.4

Some $- 14$ e $14$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - 4 x^{3} - 20 x^{2} - 9 x + 14}{x + 2}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(- 2)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 4)$ .

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$
	$1$	$- 6$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 6)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(12)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 20)$ .

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$
	$1$	$- 6$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$
	$1$	$- 6$	$- 8$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 8)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(16)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 9)$ .

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$	$16$
	$1$	$- 6$	$- 8$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$	$16$
	$1$	$- 6$	$- 8$	$7$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(7)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(- 14)$ sob o próximo termo no dividendo $(14)$ .

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$	$16$	$- 14$
	$1$	$- 6$	$- 8$	$7$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$	$16$	$- 14$
	$1$	$- 6$	$- 8$	$7$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + - 6 x^{2} + (- 8) x + 7$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 7$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore $x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 7$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 7.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

Etapa 7.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 7$

Etapa 7.1.3

Substitua $7$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $7$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 7.1.3.1

Substitua $7$ no polinômio.

$7^{3} - 6 \cdot 7^{2} - 8 \cdot 7 + 7$

Etapa 7.1.3.2

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$343 - 6 \cdot 7^{2} - 8 \cdot 7 + 7$

Etapa 7.1.3.3

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$343 - 6 \cdot 49 - 8 \cdot 7 + 7$

Etapa 7.1.3.4

Multiplique $- 6$ por $49$ .

$343 - 294 - 8 \cdot 7 + 7$

Etapa 7.1.3.5

Subtraia $294$ de $343$ .

$49 - 8 \cdot 7 + 7$

Etapa 7.1.3.6

Multiplique $- 8$ por $7$ .

$49 - 56 + 7$

Etapa 7.1.3.7

Subtraia $56$ de $49$ .

$- 7 + 7$

Etapa 7.1.3.8

Some $- 7$ e $7$ .

$0$

Etapa 7.1.4

Como $7$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 7$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 7}{x - 7}$

Etapa 7.1.5

Divida $x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 7$ por $x - 7$ .

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Etapa 7.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$7$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$8 x$

$7$

Etapa 7.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$

Etapa 7.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			+	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Etapa 7.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 7 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Etapa 7.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Etapa 7.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$

Etapa 7.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$

Etapa 7.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$

Etapa 7.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - 7 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$

Etapa 7.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$

Etapa 7.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$	+	$7$

Etapa 7.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$	+	$7$

Etapa 7.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$	+	$7$
							-	$x$	+	$7$

Etapa 7.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x + 7$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$	+	$7$
							+	$x$	-	$7$

Etapa 7.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$	+	$7$
							+	$x$	-	$7$
										$0$

Etapa 7.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + x - 1$

Etapa 7.1.6

Escreva $x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 7$ como um conjunto de fatores.

$(x - 7) (x^{2} + x - 1) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x^{2} + x - 1 = 0$

Etapa 7.3

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 7.3.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 7.4

Defina $x^{2} + x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $x^{2} + x - 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + x - 1 = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva $x^{2} + x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 7.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 7.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.3

Some $1$ e $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.4.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 7.4.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.3

Some $1$ e $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.4.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.4.2.4.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.4.2.4.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

Etapa 7.4.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{5})}{2}$

Etapa 7.4.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.4.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 7.4.2.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.2.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 7.4.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.3

Some $1$ e $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.4.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.4.2.5.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.4.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{5})}{2}$

Etapa 7.4.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (\sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{5})}{2}$

Etapa 7.4.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.4.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 7) (x^{2} + x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x + 2) (x - 7) (x + \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) (x + \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{4} - 4 x^{3} - 20 x^{2} - 9 x + 14$ .

$x = - 2, 7, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - 2, 7, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Forma decimal:

$x = - 2, 7, 0.61803398 \dots, - 1.61803398 \dots$

Etapa 11