Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} + 40 x^{2} - 441$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 49, \pm 63, \pm 147, \pm 441$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 49, \pm 63, \pm 147, \pm 441$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(3)}^{4} + 40 {(3)}^{2} - 441$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 3$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$81 + 40 {(3)}^{2} - 441$

Etapa 4.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$81 + 40 \cdot 9 - 441$

Etapa 4.1.3

Multiplique $40$ por $9$ .

$81 + 360 - 441$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $81$ e $360$ .

$441 - 441$

Etapa 4.2.2

Subtraia $441$ de $441$ .

$0$

Etapa 5

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} + 40 x^{2} - 441}{x - 3}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(3)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$
	$1$	$3$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(9)$ sob o próximo termo no dividendo $(40)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$49$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(49)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(147)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$
	$1$	$3$	$49$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$
	$1$	$3$	$49$	$147$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(147)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(441)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 441)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$	$441$
	$1$	$3$	$49$	$147$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$	$441$
	$1$	$3$	$49$	$147$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + 3 x^{2} + (49) x + 147$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} + 3 x^{2} + 49 x + 147$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 3) (x^{3} + 3 x^{2}) + 49 x + 147$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 3) + x^{2} (x + 3) + 49 (x + 3)$

$(x - 3) x^{2} (x + 3) + 49 (x + 3)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 3$ .

$(x - 3) (x + 3) (x^{2} + 49)$

Etapa 9

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} + 40 u - 441 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 10

Fatore $u^{2} + 40 u - 441$ usando o método AC.

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Etapa 10.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 441$ e cuja soma é $40$ .

$- 9, 49$

Etapa 10.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 9) (u + 49) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

$u + 49 = 0$

Etapa 12

Defina $u - 9$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 12.1

Defina $u - 9$ como igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

Etapa 12.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$u = 9$

Etapa 13

Defina $u + 49$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 13.1

Defina $u + 49$ como igual a $0$ .

$u + 49 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $49$ dos dois lados da equação.

$u = - 49$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 9) (u + 49) = 0$ verdadeiro.

$u = 9, - 49$

Etapa 15

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = - 49$

Etapa 16

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = 9$

Etapa 17

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 17.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 17.2

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 17.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 17.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 17.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 17.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 17.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 17.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 18

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 49$

Etapa 19

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 19.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = - 49$

Etapa 19.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

Etapa 19.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 49}$ .

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Etapa 19.3.1

Reescreva $- 49$ como $- 1 (49)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

Etapa 19.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (49)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Etapa 19.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

Etapa 19.3.4

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Etapa 19.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 7$

Etapa 19.3.6

Mova $7$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 7 i$

Etapa 19.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 19.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 7 i$

Etapa 19.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 7 i$

Etapa 19.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 7 i, - 7 i$

Etapa 20

A solução para $x^{4} + 40 x^{2} - 441 = 0$ é $x = 3, - 3, 7 i, - 7 i$ .

$x = 3, - 3, 7 i, - 7 i$

Etapa 21