Pré-cálculo Exemplos

$2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$2 {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \cdot 1 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Etapa 4.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Etapa 4.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 - 1 \cdot 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 - 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Etapa 4.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 - 1 + 49 \cdot 1 - 25 \cdot 1 - 25$

Etapa 4.1.6

Multiplique $49$ por $1$ .

$2 - 1 + 49 - 25 \cdot 1 - 25$

Etapa 4.1.7

Multiplique $- 25$ por $1$ .

$2 - 1 + 49 - 25 - 25$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$1 + 49 - 25 - 25$

Etapa 4.2.2

Some $1$ e $49$ .

$50 - 25 - 25$

Etapa 4.2.3

Subtraia $25$ de $50$ .

$25 - 25$

Etapa 4.2.4

Subtraia $25$ de $25$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

	$2$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$	$1$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(49)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$	$50$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(50)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(50)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 25)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$	$25$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(25)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(25)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 25)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{3} + 1 x^{2} + (50) x + 25$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{3} + x^{2} + 50 x + 25$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) (2 x^{3} + x^{2}) + 50 x + 25$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) + x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} + 25)$

Etapa 9

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1

Reagrupe os termos.

$- x^{3} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 9.2

Fatore $- x$ de $- x^{3} - 25 x$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $- x$ de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 9.2.2

Fatore $- x$ de $- 25 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 25 + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 9.2.3

Fatore $- x$ de $- x (x^{2}) - x (25)$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 9.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 {(x^{2})}^{2} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 9.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 u - 25 = 0$

Etapa 9.5

Fatore por agrupamento.

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Etapa 9.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ e cuja soma é $b = 49$ .

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Etapa 9.5.1.1

Fatore $49$ de $49 u$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 (u) - 25 = 0$

Etapa 9.5.1.2

Reescreva $49$ como $- 1$ mais $50$

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + (- 1 + 50) u - 25 = 0$

Etapa 9.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Etapa 9.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 9.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Etapa 9.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- x (x^{2} + 25) + u (2 u - 1) + 25 (2 u - 1) = 0$

Etapa 9.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 u - 1) (u + 25) = 0$

Etapa 9.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Etapa 9.7

Fatore $x^{2} + 25$ de $- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

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Etapa 9.7.1

Fatore $x^{2} + 25$ de $- x (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Etapa 9.7.2

Fatore $x^{2} + 25$ de $(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 9.7.3

Fatore $x^{2} + 25$ de $(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} + 25) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 9.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} + 25) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Etapa 9.9

Fatore por agrupamento.

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Etapa 9.9.1

Reordene os termos.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Etapa 9.9.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 9.9.2.1

Fatore $- 1$ de $- u$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Etapa 9.9.2.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Etapa 9.9.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Etapa 9.9.2.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Etapa 9.9.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 9.9.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{2} + 25) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

Etapa 9.9.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x^{2} + 25) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Etapa 9.9.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u + 1$ .

$(x^{2} + 25) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Etapa 9.10

Fatore.

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Etapa 9.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} + 25) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 9.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 11

Defina $x^{2} + 25$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x^{2} + 25$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} + 25 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 25$

Etapa 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

Etapa 11.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 25}$ .

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Etapa 11.2.3.1

Reescreva $- 25$ como $- 1 (25)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

Etapa 11.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (25)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

Etapa 11.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

Etapa 11.2.3.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

Etapa 11.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 5$

Etapa 11.2.3.6

Mova $5$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 5 i$

Etapa 11.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5 i$

Etapa 11.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5 i$

Etapa 11.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5 i, - 5 i$

Etapa 12

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 12.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 12.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 12.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 12.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 12.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 12.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 12.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 12.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 13

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 13.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 5 i, - 5 i, - \frac{1}{2}, 1$

Etapa 15