Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(2)}^{3} + 3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 12$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 2$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 + 3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 12$

Etapa 4.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 + 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 - 12$

Etapa 4.1.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$8 + 12 - 4 \cdot 2 - 12$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$8 + 12 - 8 - 12$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $8$ e $12$ .

$20 - 8 - 12$

Etapa 4.2.2

Subtraia $8$ de $20$ .

$12 - 12$

Etapa 4.2.3

Subtraia $12$ de $12$ .

$0$

Etapa 5

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12}{x - 2}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$2$	$1$	$3$	$- 4$	$- 12$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$2$	$1$	$3$	$- 4$	$- 12$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$2$	$1$	$3$	$- 4$	$- 12$
		$2$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$3$	$- 4$	$- 12$
		$2$
	$1$	$5$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(10)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 4)$ .

$2$	$1$	$3$	$- 4$	$- 12$
		$2$	$10$
	$1$	$5$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$3$	$- 4$	$- 12$
		$2$	$10$
	$1$	$5$	$6$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(6)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(12)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$2$	$1$	$3$	$- 4$	$- 12$
		$2$	$10$	$12$
	$1$	$5$	$6$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$3$	$- 4$	$- 12$
		$2$	$10$	$12$
	$1$	$5$	$6$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{2} + 5 x + 6$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{2} + 5 x + 6$

Etapa 7

Fatore $x^{2} + 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $5$ .

$2, 3$

Etapa 7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) + (x + 2) (x + 3)$

$(x - 2) (x + 2) (x + 3)$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{3} + 3 x^{2}) - 4 x - 12 = 0$

Etapa 8.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (x + 3) - 4 (x + 3) = 0$

Etapa 8.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 8.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x + 3) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 8.4

Fatore.

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Etapa 8.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x + 3) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 8.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 10

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 11

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 11.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 12

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 12.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 13

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, - 2, 2$

Etapa 14