Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} + x^{3} + 14 x^{2} + 16 x - 32$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(1)}^{4} + {(1)}^{3} + 14 {(1)}^{2} + 16 (1) - 32$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + {(1)}^{3} + 14 {(1)}^{2} + 16 (1) - 32$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 1 + 14 {(1)}^{2} + 16 (1) - 32$

Etapa 4.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 1 + 14 \cdot 1 + 16 (1) - 32$

Etapa 4.1.4

Multiplique $14$ por $1$ .

$1 + 1 + 14 + 16 (1) - 32$

Etapa 4.1.5

Multiplique $16$ por $1$ .

$1 + 1 + 14 + 16 - 32$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $1$ e $1$ .

$2 + 14 + 16 - 32$

Etapa 4.2.2

Some $2$ e $14$ .

$16 + 16 - 32$

Etapa 4.2.3

Some $16$ e $16$ .

$32 - 32$

Etapa 4.2.4

Subtraia $32$ de $32$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} + x^{3} + 14 x^{2} + 16 x - 32}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(1)$ .

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$
	$1$	$2$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(14)$ .

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$
	$1$	$2$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$
	$1$	$2$	$16$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(16)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(16)$ sob o próximo termo no dividendo $(16)$ .

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$
	$1$	$2$	$16$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$
	$1$	$2$	$16$	$32$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(32)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(32)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 32)$ .

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$	$32$
	$1$	$2$	$16$	$32$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$	$32$
	$1$	$2$	$16$	$32$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (16) x + 32$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 32$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) (x^{3} + 2 x^{2}) + 16 x + 32$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) + x^{2} (x + 2) + 16 (x + 2)$

$(x - 1) x^{2} (x + 2) + 16 (x + 2)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 2$ .

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 16)$

Etapa 9

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1

Reagrupe os termos.

$x^{3} + 16 x + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

Etapa 9.2

Fatore $x$ de $x^{3} + 16 x$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 16 x + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

Etapa 9.2.2

Fatore $x$ de $16 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot 16 + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

Etapa 9.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 16$ .

$x (x^{2} + 16) + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

Etapa 9.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} + 16) + {(x^{2})}^{2} + 14 x^{2} - 32 = 0$

Etapa 9.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 16) + u^{2} + 14 u - 32 = 0$

Etapa 9.5

Fatore $u^{2} + 14 u - 32$ usando o método AC.

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Etapa 9.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 32$ e cuja soma é $14$ .

$- 2, 16$

Etapa 9.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x (x^{2} + 16) + (u - 2) (u + 16) = 0$

Etapa 9.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 16) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 16) = 0$

Etapa 9.7

Fatore $x^{2} + 16$ de $x (x^{2} + 16) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 16)$ .

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Etapa 9.7.1

Fatore $x^{2} + 16$ de $x (x^{2} + 16)$ .

$(x^{2} + 16) x + (x^{2} - 2) (x^{2} + 16) = 0$

Etapa 9.7.2

Fatore $x^{2} + 16$ de $(x^{2} - 2) (x^{2} + 16)$ .

$(x^{2} + 16) x + (x^{2} + 16) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 9.7.3

Fatore $x^{2} + 16$ de $(x^{2} + 16) x + (x^{2} + 16) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} + 16) (x + x^{2} - 2) = 0$

Etapa 9.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} + 16) (u + u^{2} - 2) = 0$

Etapa 9.9

Fatore $u + u^{2} - 2$ usando o método AC.

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Etapa 9.9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 9.9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x^{2} + 16) ((u - 1) (u + 2)) = 0$

Etapa 9.10

Fatore.

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Etapa 9.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} + 16) ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Etapa 9.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 16) (x - 1) (x + 2) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 16 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 11

Defina $x^{2} + 16$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x^{2} + 16$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 16 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} + 16 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 16$

Etapa 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Etapa 11.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 16}$ .

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Etapa 11.2.3.1

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Etapa 11.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Etapa 11.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Etapa 11.2.3.4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Etapa 11.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 4$

Etapa 11.2.3.6

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 4 i$

Etapa 11.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4 i$

Etapa 11.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4 i$

Etapa 11.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4 i, - 4 i$

Etapa 12

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 12.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 13

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 16) (x - 1) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 4 i, - 4 i, 1, - 2$

Etapa 15