Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} + 4 x^{2}$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$0$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(0)}^{4} + 4 {(0)}^{2}$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 0$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 4 {(0)}^{2}$

Etapa 4.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 4 \cdot 0$

Etapa 4.1.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 5

Como $0$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 0$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} + 4 x^{2}}{x + 0}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$0$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(4)$ .

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$	$4$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$4$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$4$	$0$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$4$	$0$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$4$	$0$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (4) x + 0$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} + 4 x$

Etapa 7

Fatore $x$ de $x^{3} + 4 x$ .

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Etapa 7.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + 4 x)$

Etapa 7.2

Fatore $x$ de $4 x$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot 4)$

Etapa 7.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 4$ .

$(x + 0) (x (x^{2} + 4))$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} = 0$

Etapa 8.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$u^{2} + 4 u = 0$

Etapa 8.3

Fatore $u$ de $u^{2} + 4 u$ .

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Etapa 8.3.1

Fatore $u$ de $u^{2}$ .

$u \cdot u + 4 u = 0$

Etapa 8.3.2

Fatore $u$ de $4 u$ .

$u \cdot u + u \cdot 4 = 0$

Etapa 8.3.3

Fatore $u$ de $u \cdot u + u \cdot 4$ .

$u (u + 4) = 0$

Etapa 8.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 10

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 10.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 10.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 10.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 10.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 10.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 11

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} + 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 4$

Etapa 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 11.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Etapa 11.2.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 11.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 11.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 11.2.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 11.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 11.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 11.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 11.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 11.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} (x^{2} + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2 i, - 2 i$

Etapa 13