Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 15 x + 4$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{3} + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 - 6 {(- 1)}^{3} + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

Etapa 4.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$1 - 6 \cdot - 1 + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$1 + 6 + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

Etapa 4.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 6 + 4 \cdot 1 + 15 (- 1) + 4$

Etapa 4.1.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$1 + 6 + 4 + 15 (- 1) + 4$

Etapa 4.1.6

Multiplique $15$ por $- 1$ .

$1 + 6 + 4 - 15 + 4$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $1$ e $6$ .

$7 + 4 - 15 + 4$

Etapa 4.2.2

Some $7$ e $4$ .

$11 - 15 + 4$

Etapa 4.2.3

Subtraia $15$ de $11$ .

$- 4 + 4$

Etapa 4.2.4

Some $- 4$ e $4$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 15 x + 4}{x + 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 6)$ .

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$
	$1$	$- 7$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 7)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(7)$ sob o próximo termo no dividendo $(4)$ .

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$
	$1$	$- 7$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$
	$1$	$- 7$	$11$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(11)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 11)$ sob o próximo termo no dividendo $(15)$ .

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$
	$1$	$- 7$	$11$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$
	$1$	$- 7$	$11$	$4$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 4)$ sob o próximo termo no dividendo $(4)$ .

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 7$	$11$	$4$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 7$	$11$	$4$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + - 7 x^{2} + (11) x + 4$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore $x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 7.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 7.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 7.1.3

Substitua $4$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $4$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 7.1.3.1

Substitua $4$ no polinômio.

$4^{3} - 7 \cdot 4^{2} + 11 \cdot 4 + 4$

Etapa 7.1.3.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$64 - 7 \cdot 4^{2} + 11 \cdot 4 + 4$

Etapa 7.1.3.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$64 - 7 \cdot 16 + 11 \cdot 4 + 4$

Etapa 7.1.3.4

Multiplique $- 7$ por $16$ .

$64 - 112 + 11 \cdot 4 + 4$

Etapa 7.1.3.5

Subtraia $112$ de $64$ .

$- 48 + 11 \cdot 4 + 4$

Etapa 7.1.3.6

Multiplique $11$ por $4$ .

$- 48 + 44 + 4$

Etapa 7.1.3.7

Some $- 48$ e $44$ .

$- 4 + 4$

Etapa 7.1.3.8

Some $- 4$ e $4$ .

$0$

Etapa 7.1.4

Como $4$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 4$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4}{x - 4}$

Etapa 7.1.5

Divida $x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$ por $x - 4$ .

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Etapa 7.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$11 x$

$4$

Etapa 7.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$

Etapa 7.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Etapa 7.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Etapa 7.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Etapa 7.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$

Etapa 7.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$

Etapa 7.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$

Etapa 7.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x^{2} + 12 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$

Etapa 7.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$

Etapa 7.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$

Etapa 7.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$

Etapa 7.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$
							-	$x$	+	$4$

Etapa 7.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x + 4$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$
							+	$x$	-	$4$

Etapa 7.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$
							+	$x$	-	$4$
										$0$

Etapa 7.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 3 x - 1$

Etapa 7.1.6

Escreva $x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$ como um conjunto de fatores.

$(x - 4) (x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Etapa 7.3

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 7.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 7.4

Defina $x^{2} - 3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $x^{2} - 3 x - 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 3$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 7.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.2.3.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 7.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.3

Some $9$ e $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Etapa 7.4.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 7.4.2.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.2.4.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.3

Some $9$ e $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Etapa 7.4.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Etapa 7.4.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 7.4.2.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.2.5.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.3

Some $9$ e $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Etapa 7.4.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Etapa 7.4.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Etapa 7.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x^{2} - 3 x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x + 1) (x - 4) (x - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}) (x - \frac{3 - \sqrt{13}}{2})$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 15 x + 4$ .

$x = - 1, 4, \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - 1, 4, \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Forma decimal:

$x = - 1, 4, 3.30277563 \dots, - 0.30277563 \dots$

Etapa 11