Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} + 2 x^{2} - 3 x > 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} + 2 x^{2} - 3 x = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Fatore $x$ de $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 2 x^{2} - 3 x = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x$ de $2 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (2 x) - 3 x = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 3 = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (2 x)$ .

$x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 3$ .

$x (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Etapa 2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.1

Fatore $x^{2} + 2 x - 3$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $2$ .

$- 1, 3$

Etapa 2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x - 1) (x + 3) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 1) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1, - 3$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

${(- 6)}^{3} + 2 {(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 > 0$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $- 126$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

${(- 2)}^{3} + 2 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 > 0$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $6$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.5$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $0.5$ na desigualdade original.

${(0.5)}^{3} + 2 {(0.5)}^{2} - 3 \cdot 0.5 > 0$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $- 0.875$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.4

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 9.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{3} + 2 {(4)}^{2} - 3 \cdot 4 > 0$

Etapa 9.4.3

O lado esquerdo $84$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 3 < x < 0$ ou $x > 1$

Etapa 11

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 3, 0) \cup (1, \infty)$

Etapa 12